Question

已知數(shù)列{a_n}滿足遞推關(guān)系式a_n=2a_n-1+1，（n≥2）其中a₄=15
（1）求a₁，a₂，a₃
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式
（3）求數(shù)列{a_n}的前n項和S．

Answer 1

分析：（1）利用數(shù)列的遞推關(guān)系式，通過n=4，求出a₃，類似求出a₁，a₂，
（2）通過遞推關(guān)系式，推出數(shù)列{a_n+1}是以a1+1為首項，2為公比的等比數(shù)列，然后求數(shù)列{a_n}的通項公式．
（3）寫出數(shù)列{a_n}的前n項和的表達式．利用拆項法，通過等比數(shù)列求和求解即可．

解答：解：（1）由a_n=2a_n-1+1，（n≥2）其中a₄=15
，可知a₄=2a₃+1，解得a₃=7，
同理可得，a₂=3，a₁=1．
（2）由a_n=2a_n-1+1，（n≥2）可知a_n+1=2a_n-1+2，（n≥2），
∴數(shù)列{a_n+1}是以a1+1為首項，2為公比的等比數(shù)列，
∴a_n+1=（a₁+1）•2^n-1=2ⁿ，
所以a_n=2ⁿ-1．
（3）∵a_n=2ⁿ-1．
∴S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n
=（2¹-1）+（2²-1）+…+（2ⁿ-1）
=（2¹+2²+…+2ⁿ）-n
=

2(1-2n)

1-2

-n
=2ⁿ⁺¹-n-2．

點評：本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式與數(shù)列通項公式，前n項和的應(yīng)用，考查計算能力．