Question

已知等比數列{a_n}的公比q≠1，a₁=3，且3a₂、2a₃、a₄成等差數列．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=21og₃a_n，求證：數列{b_n}成等差數列；
（3）是否存在非零整數λ，使不等式…．對一切，n∈N^*都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接由3a₂、2a₃、a₄成等差數列列式求出公比q的值，則數列{a_n}的通項公式可求；
（2）把數列{a_n}的通項公式代入b_n=21og₃a_n整理即可得到結論；
（3）令，則不等式等價于（-1）ⁿ⁺¹λ＜c_n，作比后得到數列{c_n}的單調性，分n的奇偶性求出數列{c_n}的最小值，從而得到結論．
解答：解：（1）由3a₂，2a₃，a₄ 成等差數列，
所以4a₃=a₄+3a₂，即4．∵a₁≠0，q≠0，
∴q²-4q+3=0，即（q-1）（q-3）=0．
∵q≠1，∴q=3，
由a₁=3，得；
（2）∵，∴．
得b_n-b_n-1=2．
∴{b_n}是首項為9，公差為2的等差數列；
（3）由b_n=2n，
設，則不等式等價于（-1）ⁿ⁺¹λ＜c_n．
=．
∵c_n＞0，∴c_n+1＞c_n，數列{c_n}單調遞增．
假設存在這樣的實數λ，使的不等式（-1）ⁿ⁺¹λ＜c_n對一切n∈N^*都成立，則
①當n為奇數時，得；
當n為偶數時，得，即．
綜上，，由λ是非零整數，知存在λ=±1滿足條件．
點評：本題考查了等差數列和等比數列的通項公式，考查了數列的函數特性，考查了數學轉化思想方法和分類討論的數學思想方法，是中檔題．