Question

如圖，點P是以AB為直徑的圓O上動點，P'是點P關于AB的對稱點，AB=2a（a＞0）．
（Ⅰ）當點P是弧上靠近B的三等分點時，求的值；
（Ⅱ）求的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由已知先求出點P的坐標，再利用數量積即可求出；
（Ⅱ）設∠POB=θ，θ∈[0，2π），寫出點p與P^′的坐標，求出的表達式，再利用二次函數和余弦函數的單調性即可求出其最值．
解答：解：（Ⅰ）以直徑AB所在直線為x軸，以O為坐標原點建立平面直角坐標系．
∵P是弧AB靠近點B的三等分點，
連接OP，則，
點P坐標為．
又點A坐標是（-a，0），點B坐標是（a，0），
∴，，
∴．
（Ⅱ）設∠POB=θ，θ∈[0，2π），則P（acosθ，asinθ），
P'（acosθ，-asinθ），
∴，．
∴=a²（2cos²θ+cosθ-1）
==．
當時，有最小值，
當cosθ=1時，有最大值2a²．
點評：熟練掌握圓的對稱性、向量的數量積、三角函數和二次函數的單調性是解題的關鍵．