Question

已知實(shí)數(shù)x，y，z滿足x²+4y²+9z²=a（a＞0），且x+y+z的最大值是7，求a的值．

Answer 1

分析：由柯西不等式：[x2+(2y)2+(3z)2][12+(

1

2

)2+(

1

3

)2]≥(x+

1

2

×2y+

1

3

×3z)2，可得出x+y+z的最大值，從而可根據(jù)最大值為7，建立關(guān)于a的方程解出a值即可．

解答：解：由柯西不等式：[x2+(2y)2+(3z)2][12+(

1

2

)2+(

1

3

)2]≥(x+

1

2

×2y+

1

3

×3z)2，
∴

49

36

a≥(x+y+z)2（a＞0），
∴-

7 a

6

≤x+y+z≤

7 a

6

，
∵x+y+z的最大值是7，
∴

7 a

6

=7，得a=36．
當(dāng)x=

36

7

，y=

9

7

，z=

4

7

時，x+y+z取最大值，因此a=36．

點(diǎn)評：本題考查了柯西不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．