Question

已知函數f(x)=x+

t

x

(t＞0)和點P（1，0），過點P作曲線y=f（x）的兩條切線PM，PN，切點分別為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
（1）求證：x₁，x₂是關于x的方程x²+2tx-t=0的兩根；
（2）設|MN|=g（t），求函數g（t）；
（3）在（2）的條件下，若在區間[2，16]內總存在m+1個實數a₁，a₂，…，a_m+1，使得不等式g（a₁）+g（a₂）+…+g（a_m）＜g（a_m+1）成立，求實數m的最大值．

Answer 1

分析：（1）用導數值與切線的斜率相等，求出切點橫坐標的關系，判斷是方程x²+2tx-t=0的兩根即可；
（2）求過切點的切線方程，找出兩切點關系，再利用兩點間的距離公式求解即可；
（3）利用函數的單調性轉化為恒成立問題．

解答：解：（1）函數f(x)=x+

t

x

(t＞0)可得f′（x）=1-

t

x2

，切點（x，x+

t

x

），所以

x+ t x

x-1

=1-

t

x2

，
可得x²+2tx-t=0，顯然方程的兩個根就是切點分別為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）的橫坐標，
所以x₁，x₂是關于x的方程x²+2tx-t=0的兩根；
（2）因為M、N兩點的橫坐標分別為x₁、x₂，
又f′（x）=1-

t

x2

，∴切線PM的方程為：y-（x1+

t

x1

）=（1-

t

x 2 1

）（x-x₁）．
又∵切線PM過點P（1，0），∴有0-（x1+

t

x1

）=（1-

t

x 2 1

）（1-x₁）．
即x₁²+2tx₁-t=0．（1）
同理，由切線PN也過點（1，0），得x₂²+2tx₂-t=0．（2）
由（1）、（2），可得x₁，x₂是方程x²+2tx-t=0的兩根，
∴

x1+x2=-2t x1•x2=-t

   （*）
|MN|=

(x1-x2)2+(x1+ t x1  -x2- t x2  )2

=

(x1-x2)2[1+(1- t x1x2  )2]

=

[(x1+x2)2-4x1x2][1+(1- t x1x2  )2]

把（*）式代入，得|MN|=2

5t2+5t

，
因此，函數g（t）的表達式為g（t）=2

5t2+5t

（t＞0）
（3）易知g（t）在區間[2，16]上為增函數，
∴g（2）≤g（a_i）（i=1，2，m+1）．
則m•g（2）≤g（a₁）+g（a₂）+…+g（a_m）．
∵g（a₁）+g（a₂）+…+g（a_m）＜g（a_m+1）對一切正整數n成立，
∴不等式m•g（2）＜g（16）對一切的正整數n恒成立m2

5×4+5×2

＜2

5×162+5×16

，
即m＜

85×16 30

=

80 3

對一切的正整數n恒成立
由于m為正整數，∴m≤6．又當m=6時，存在a₁=a₂=a_m=2，a_m+1=16，對所有的n滿足條件．
因此，m的最大值為6．

點評：本題第一問比較基礎，二三問比較復雜，考切線問題，和數列問題，又滲透了恒成立思想，此題比較新，雖是壓軸題但并不像以往壓軸題的思路，有突破有創新，仔細審題是解題的關鍵．