Question

已知數(shù)列{a_n}滿足如圖所示的程序框圖．
（I）寫出數(shù)列{a_n}的一個(gè)遞推關(guān)系式；并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n，證明不等式S_n+1≤4S_n，對(duì)任意n∈N^*皆成立．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由程序框圖可知，數(shù)列{a_n}的一個(gè)遞推關(guān)系式：a_n+1=4a_n-3n+1，構(gòu)造得出a_n+1-（n+1）=4（a_n-n），通過求得等比數(shù)列通項(xiàng)公式得出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）結(jié)合等比數(shù)列求和公式，利用作差比較證明法進(jìn)行證明．

解答：解（Ⅰ）由程序框圖可知，數(shù)列{a_n}的一個(gè)遞推關(guān)系式：
a_n+1=4a_n-3n+1，n是正整數(shù)，
∴a_n+1-（n+1）=4（a_n-n），
又a₁-1=1，所以數(shù)列{a_n-n}是首項(xiàng)為1，且公比為4的等比數(shù)列，
∴a_n-n=4^n-1，
∴a_n=4^n-1+n，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=

4n-1

3

+

n(n+1)

2

對(duì)任意的正整數(shù)n，S_n+1-4S_n=-

1

2

（3n²+n-4）≤0，所以不等式S_n+1≤4S_n，對(duì)任意n∈N^*皆成立．
．…（6分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查程序框圖的解讀，數(shù)列通項(xiàng)公式求解，不等式的證明，考查轉(zhuǎn)化構(gòu)造、推理論證能力．