Question

設函數f(x)=cos(2x-

π

3

)-cos2x，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）在(0，

π

2

)上的值域；
（Ⅱ）記△ABC的內角A，B，C的對邊長分別為a，b，c，若f(A)=1，a=

7

，b=3，求c的值．

Answer 1

分析：（I） 利用兩角和差的三角公式化簡函數的解析式，根據角的范圍及函數的單調性求出函數的值域．
（II）由 f（A）=1 求得sin(2A-

π

6

)=1，根據-

π

6

＜2A-

π

6

＜

11π

6

求出A=

π

3

，利用余弦定理求出c的值．

解答：解：（I）f(x)=cos(2x-

π

3

)-cos2x=cos2xcos

π

3

+sin2xsin

π

3

-cos2x 
=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin(2x-

π

6

)．∵x∈(0，

π

2

)，∴2x-

π

6

∈(-

π

6

，

5π

6

)，
∴sin(2x-

π

6

)∈(-

1

2

，1]，即f（x）在(0，

π

2

)的值域為(-

1

2

，1]．
（II）由（I）可知，f(A)=sin(2A-

π

6

)，∴sin(2A-

π

6

)=1．
∵0＜A＜π，∴-

π

6

＜2A-

π

6

＜

11π

6

，∴2A-

π

6

=

π

2

，A=

π

3

．
∵a²=b²+c²-2bccosA，把a=

7

，b=3代入，得到c²-3c+2=0，∴c=1或c=2．

點評：本題考查兩角和差的三角公式的應用，余弦定理，以及正弦函數的值域，求出角A的大小是解題的關鍵．