Question

三棱錐P-ABC中△PAC是邊長為4的等邊三角形，△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°，平面PAC⊥面ABC，D、E分別為AB、PB的中點(diǎn)．
（1）求證AC⊥PD；
（2）求二面角E-AC-B的正切值．
（3）求三棱錐P-CDE與三棱錐P-ABC的體積之比．

Answer 1

分析：（1）取AC中點(diǎn)O，連OD證明AC⊥面POD即可由線面垂直證明出AC⊥PD；
（2）求二面角需先作出它的平面角，由圖知連OB，過E作EF⊥OB于F，過F作FG⊥AC，連EG，知EG⊥AC，∠EGF為二面角E-AC-B的平面角，求出其正切值；
（3）由圖形將三棱錐P-CDE的體積用V_D-PCE，表示出來，將問題轉(zhuǎn)化為求V_D-PCE與三棱錐P-ABC的體積之比，研究兩個(gè)幾何體的高與底面即可得出它們的比值

解答：解：（1）證：取AC中點(diǎn)O，PO⊥AC，又面PAC⊥面ABC∴PO⊥面ABC，連OD，則OD⊆面PBC，則DO⊥AC，∴AC⊥面POD，AC⊥PD…（3分）
（2）解：連OB，過E作EF⊥OB于F
Q面POB⊥面ABC∴EF⊥面ABC  過F作FG⊥AC
連EG知EG⊥AC∠EGF為二面角E-AC-B的平面角
在VPOB中，EFP=

1

2

PO=

3

在VOBC中，F(xiàn)GP=

1

2

BC=2tan∠EGF=

3

2

…（8分）
（3）解：V_P-CDE=V_D-PCE，E為PB中點(diǎn)
∴SVPCE=

1

2

SVPBC，VD-PCE=

1

2

VD-PBC=

1

2

VP-DBC=

1

4

VP-ABC
即

VP-CDE

VP-ABC

=

1

4

…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查二面角的求法，解題關(guān)鍵是作出二面角的平面角，在三角形中求出二面角的大小，注意二面角的作法規(guī)則，在求二面角時(shí)，常因?yàn)樽鞒龆�面角后沒有證明它就是二面角的平面角而造成推掉步驟分，作此類題時(shí)要謹(jǐn)記．本題中也涉及到了線線垂直與求棱錐體積的方法，求棱錐的體積時(shí)要注意變換頂點(diǎn)，換個(gè)角度求體積．