Question

正實數(shù)數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂=5，且{a_n²}成等差數(shù)列。
 （I）證明數(shù)列{a_n}中有無窮多項為無理數(shù)；
 （Ⅱ）當n為何值時，a_n為整數(shù)，并求出使a_n<200的所有整數(shù)項的和。

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知有a_n²=1+24（n-1），從而a_n=
取，則
用反證法證明這些a_n都是無理數(shù)
假設(shè)為有理數(shù)，則a_n必為正整數(shù)，且
故
與矛盾
所以都是無理數(shù)
即數(shù)列{a_n}中有無窮多項為無理數(shù)；
（Ⅱ）要使a_n為整數(shù)，由（a_n-1）（a_n+1）=24（n-1）可知a_n-1，a_n+1同為偶數(shù)，且其中一個必為3的倍數(shù)
所以有a_n-1=6m或a_n+1=6m
當a_n=6m+1時，有a_n²=36m²+12m+1=1+12m（3m+1） （m∈N），又m（3m+1）必為偶數(shù)，所以a_n=6m+1（m∈N）滿足a_n²=1+24（n-1）
即時，a_n為整數(shù)
同理a_n=6m-1（m∈N*）有a²_n=36m²-12m+1=1+12m· （3m-1）（m∈N*）
也滿足a_n²=1+24（n-1）
即時，a_n為整數(shù)
顯然a_n=6m-1（m∈N*）和a_n=6m+1（m∈N）是數(shù)列中的不同項
所以當和N*）時，a_n為整數(shù)
由a_n=6m+1<200（m∈N）有0≤m≤33
由a_n=6m-1<200（m∈N*）有1≤m≤33
設(shè)a_n中滿足a_n<200的所有整數(shù)項的和為S，則
S=（5+11+…+197）+（1+7+13+…+199）
6733。