Question

【題目】設a，b∈R，且a≠2，定義在區間（﹣b，b）內的函數f（x）=lg 是奇函數．
（1）求a的值；
（2）求b的取值范圍；
（3）用定義討論并證明函數f（x）的單調性．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）=lg 是奇函數等價于：

對任意的x∈（﹣b，b），都有f（﹣x）=﹣f（x），

即 = ，

即（a2﹣4）x2=0對任意x∈（﹣b，b）恒成立，

∴a2﹣4=0

又a≠2，

∴a=﹣2

（2）解：由（1）得： ＞0對任意x∈（﹣b，b）恒成立，

解 ＞0得：x∈（﹣ ， ）．

則有（﹣ ， ）（﹣b，b），

解得：b∈（0， ]

（3）解：任取x1，x2∈（﹣b，b），令x1＜x2，

則x1，x2∈（﹣ ， ），

∴1﹣2x1＞1﹣2x2＞0，

1+2x2＞1+2x1＞0，

即（1+2x2）（1﹣2x1）＞（1﹣2x2）（1+2x1）＞0，

即 ＞1，

f（x1）﹣f（x2）= ﹣ = ＞0，

則f（x1）＞f（x2）

∴f（x）在（﹣b，b）內是單調減函數

【解析】（1）函數f（x）=lg 是奇函數等價于：對任意的x∈（﹣b，b），都有f（﹣x）=﹣f（x），即（a2﹣4）x2=0對任意x∈（﹣b，b）恒成立，解得a的值；（2）解 ＞0得：x∈（﹣ ， ）．則有（﹣ ， ）（﹣b，b），解得b的取值范圍；（3）任取x1 ， x2∈（﹣b，），令x1＜x2 ， 判斷f（x1），f（x2）的大小，根據定義，可得答案．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數單調性的判斷方法和函數奇偶性的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大��；③作差比較或作商比較；在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．