Question

已知f（x）=x²+（lga+2）x+lgb，滿足f（-1）=-2，且對一切實數(shù)，都有f（x）≥2x；
（1）求a，b；　
（2）在（1）的條件下，求f（x）的最小值．

Answer 1

解：（1）∵f（-1）=lgb-lga-1=-2，∴l(xiāng)gb=lga-1，
∵f（x）≥2x，即x²+（lga）x+lgb≥0恒成立，
亦即x²+（lga）x+lga-1≥0恒成立．
∴△≤0，lg²a-4（lga-1）≤0，∴l(xiāng)ga=2，lgb=1，
∴a=100，b=10．
（2）由（1）得f（x）=x²+4x+1=（x+2）²-3，
∴x=-2時，f（x）最小值為-3．
分析：（1）由f（-1）=-2得lgb=lga-1，f（x）≥2x，即x²+（lga）x+lgb≥0恒成立，得△≤0，化為lga的不等式可求lga，進而可求lgb，得a，b；
（2）配方后可求得最小值；
點評：本題考查二次函數(shù)的最值及求單調(diào)性，考查學(xué)生解決問的能力．