Question

直角梯形EFCB中，EF∥BC，EF=BE=

1

2

BC=2，∠BEF=90°，點A是平面BEF外一點，AE⊥面BCFE，且AE=BE，G、M分別是BC、AG的中點．
（1）求證：CF⊥平面BMF；
（2）求三棱錐B-MFG的體積．

Answer 1

分析：（1）連接BF、GE，BF∩GE=0，連接OM，先證CF⊥BF，再證OM⊥CF，由線面垂直的判定定理可證CF⊥平面BMF；
（2）由（1）知，OM⊥平面BFG，即OM為三棱錐M-BGF的高，根據(jù)求出OM與底面△BGF的面積，V_B-GMF=V_M-BGF，代入體積公式計算．

解答：解：（1）連接BF、GE，BF∩GE=0，連接OM，
∵EF∥BC，EF=BE=

1

2

BC=2，G是BC的中點，∠BEF=90°，
∴四邊形EFGB為正方形，∠BFG=∠GFC=45°，
∴CF⊥BF，
又O，M分別是EG，AG的中點，
∴OM∥AE，∵AE⊥面BCFE，CF?平面BCFE，∴AE⊥CF，
∴OM⊥CF，OM∩BF=O，∴CF⊥平面BMF；
（2）由（1）知，OM⊥平面BFG，OM=

1

2

AE=1，
∴V_B-GMF=V_M-BGF=

1

3

×

1

2

×2×2×1=

2

3

．

點評：本題考查了線面垂直的證明，考查了三棱錐的體積計算，考查了學生的推理論證能力，利用三棱錐的換底性求其體積是常用方法．