Question

已知數列{a_n}和{b_n}滿足：對于任何n∈N^*，有a_n=b_n+1-b_n，b_n+2=（1+λ）b_n+1-λb_n（λ為非零常數），且b₁=1，b₂=2．
（1）求數列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）若b₃是b₆與b₉的等差中項，試求λ的值，并研究：對任意的n∈N^*，b_n是否一定能是數列{b_n}中某兩項（不同于b_n）的等差中項，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）由b_n+1=（1+λ）b_n-λb_n-1（n≥2，λ≠0）得，b_n+1-b_n=λ（b_n-b_n-1）．所以a_n=λ^n-1．由b_n-b₁=（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1），得b_n-b₁=1+λ+…+λ^n-2（n≥2），從而得到數列{a_n}和{b_n}的通項公式．
（2）當λ=1時，b₃不是b₆與b₉的等差中項，不合題意；當λ≠1時，由2b₃=b₆+b₉得λ⁸+λ⁵-2λ²=0，對任意的n∈N^*，b_n是b_n+3與b_n+6的等差中項．由bn+3+bn+6-2bn=

λn-1

1-λ

(2-λ3-λ6)=0，知bn=

bn+3+bn+6

2

，故對任意的n∈N^*，b_n是b_n+3與b_n+6的等差中項．

解答：解：（1）由b_n+1=（1+λ）b_n-λb_n-1（n≥2，λ≠0）得，b_n+1-b_n=λ（b_n-b_n-1）．
又a₁=b₂-b₁=1，λ≠0，a_n≠0．
所以，{a_n}是首項為1，公比為λ的等比數列，a_n=λ^n-1．（5分）
由b_n-b₁=（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1），得b_n-b₁=1+λ+…+λ^n-2（n≥2）
所以，當n≥2時，bn=

1+ 1-λn-1 1-λ ，λ≠1 n，λ=1.

．（6分）
上式對n=1顯然成立（1分）
（2）當λ=1時，b₃不是b₆與b₉的等差中項，不合題意；．（1分）
當λ≠1時，由2b₃=b₆+b₉得λ⁸+λ⁵-2λ²=0，
由λ≠0得λ⁶+λ³-2=0（可解得λ=-

3	2

）..（2分）
對任意的n∈N^*，b_n是b_n+3與b_n+6的等差中項（2分）
證明：∵bn+3+bn+6-2bn=

λn-1

1-λ

(2-λ3-λ6)=0，∴bn=

bn+3+bn+6

2

，..（3分）
即，對任意的n∈N^*，b_n是b_n+3與b_n+6的等差中項．

點評：本題考查求解數列通項公式的方法和等差中項的性質與證明，解題時要注意遞推公式的靈活運用．