Question

已知函數f（x）=ax²+bx（a≠0）的導函數f'（x）=-2x+7，數列{a_n}的前n項和為S_n，點Pn(n，Sn)(n∈N*)均在函數y=f（x）的圖象上．
（1）求數列{a_n}的通項公式及S_n的最大值；
（2）令b_n=

2an

，其中n∈N^*，求{nb_n}的前n項和．

Answer 1

分析：（1）先確定函數y=f（x）的解析式，利用點Pn(n，Sn)(n∈N*)均在函數y=f（x）的圖象上，求出S_n，進而可求數列{a_n}的通項公式及S_n的最大值；
（2）先確定{nb_n}的通項，利用錯位相減法可求前n項和．

解答：解：（1）∵函數f（x）=ax²+bx（a≠0）的導函數f'（x）=-2x+7，
∴f（x）=-x²+7x
∵點Pn(n，Sn)(n∈N*)均在函數y=f（x）的圖象上
∴Sn=-n2+7n
∴n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=-2n+8，
∵Sn=-n2+7n=-(n-

7

2

)2+

49

4

∴n=3或4時，S_n的最大值為12；
（2）b_n=

2an

=2^-n+4，∴nb_n=n•2^-n+4=16n•

1

2n

∴{nb_n}的前n項和為S_n=16（1•

1

2

+2•

1

22

+…+n•

1

2n

）
∴

1

2

S_n=16[1•

1

22

+…+（n-1）•

1

2n

+n•

1

2n+1

]
∴兩式相減可得

1

2

S_n=16（

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

-n•

1

2n+1

）=16（1-

1

2n

-n•

1

2n+1

）
∴S_n=32（1-

1

2n

-n•

1

2n+1

）

點評：本題考查數列與函數的關系，考查數列的通項與最值，考查數列的求和，正確求出數列的通項是關鍵．