Question

定義在R上的函數y=f（x），f（0）≠0，當x＞0時，f（x）＞1，且對任意的a、b∈R，有f（a+b）=f（a）•f（b）．
（1）求證：f（0）=1；
（2）求證：對任意的x∈R，恒有f（x）＞0；
（3）求證：f（x）是R上的增函數；
（4）若f（x）•f（2x-x²）＞1，求x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用賦值法解決，令x=y=0即得；
（2）利用條件：“當x＞0時，f（x）＞1”，只須證明當x≤0時，f（x）＞0即可；
（3）利用單調函數的定義證明，設x₁＜x₂，將f（x₂）寫成f[（x₂-x₁）+x₁]的形式后展開，結合（2）的結論即可證得；
（4）由f（x）•f（2x-x²）＞f（0）得f（3x-x²）＞f（0）．結合f（x）的單調性去掉符號“f”后，轉化成一元二次不等式解決即可．
解答：（1）證明：令a=b=0，則f（0）=f²（0）．
又f（0）≠0，∴f（0）=1．
（2）證明：當x≤0時，-x＞0，
∴f（0）=f（x）•f（-x）=1．
∴f（-x）=＞0．又x＞0時f（x）≥1＞0，
∴x∈R時，恒有f（x）＞0．
（3）證明：設x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0．
∴f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）=f（x₂-x₁）•f（x₁）．
∵x₂-x₁＞0，∴f（x₂-x₁）＞1．
又f（x₁）＞0，∴f（x₂-x₁）•f（x₁）＞f（x₁）．
∴f（x₂）＞f（x₁）．∴f（x）是R上的增函數．
（4）解：由f（x）•f（2x-x²）＞1，
f（0）=1得f（3x-x²）＞f（0）．
又f（x）是R上的增函數，
∴3x-x²＞0，
∴0＜x＜3．
點評：本題主要考查抽象函數及其應用、函數單調性的判斷與證明．解本題的關鍵是靈活應用題目條件，尤其是（3）中“f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]”是證明單調性的關鍵，這里體現了向條件化歸的策略．