Question

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長都相等，D是A₁C₁的中點，則直線AD與平面B₁DC所成角的正弦值為（　　）

• A．

  3

  5

• B．

  4

  5

• C．

  3

  4

• D．

  5

  5

Answer 1

分析：先證出B₁D⊥平面AC₁，過A點作AG⊥CD，證AG⊥平面B₁DC，可知∠ADG即為直線AD與平面B₁DC所成角，求其正弦即可．

解答：解：如圖，連接B₁D
∵D是A₁C₁的中點，△A₁B₁C₁是正三角形
∴B₁D⊥A₁C₁，
∵平面AC₁⊥平面A₁B₁C₁，平面AC₁∩平面A₁B₁C₁=A₁C₁，
∴B₁D⊥平面AC₁，
過A點作AG⊥CD，則由B₁D⊥平面AC₁，得AG⊥B₁D
由線面垂直的判定定理得AG⊥平面B₁DC，
于是∠ADG即為直線AD與平面B₁DC所成角，
由已知，不妨令棱長為2，則AD=

5

=CD，
由等面積法得AG=

AC×AA1

CD

=

4 5

5

所以直線AD與面DCB₁的正弦值為

4

5

故選B．

點評：本題考查正棱柱的性質以及線面角的求法，考查空間想象能力以及點線面的位置關系．