【題目】如圖，在三棱柱
中，側棱
底面
,且
, 
是棱
的中點，點
在側棱
上運動.
(1)當
是棱
的中點時，求證： 
平面
；
(2)當直線
與平面
所成的角的正切值為
時，求二面角
的余弦值.
【答案】(1)證明見解析；(2) 
.
【解析】試題分析：（1）取線段
的中點
，連結
．可得四邊形
是平行四邊形， 
，即可證明
平面
；（2）以
為原點， 
， 
， 
所在直線分別為
、
、
軸建立空間直角坐標系，利用向量法二面角
的余弦值.
試題解析：(1)取線段
的中點
，連結
.
∵
,∴
，且
.
又
為
的中點，∴
,且
.
∴
,且
.∴四邊形
是平行四邊形.
∴
.
又
平面
平面
,∴
平面
.
(2)∵
兩兩垂直，∴以
為原點， 
所在直線分別為
軸， 
軸， 
軸，建立空間直角坐標系
，如圖,
∵三棱柱
中， 
平面
，
∴
即為直線
與平面
所成的角.
設
，則由
，得
.
∴
.
∴
,
設平面
的一個法向量為
，
則
令
，得
，即
.
又平面
的一個法向量為
,∴
,
又二面角
的平面角為鈍角，∴二面角
的余弦值為
.
芝麻開花課程新體驗系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
，其中
為常數．
（Ⅰ）若
的圖像在
處的切線經過點（3,4），求
的值；
（Ⅱ）若
，求證： 
；
（Ⅲ）當函數
存在三個不同的零點時，求
的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某家電公司根據銷售區域將銷售員分成
，
兩組.
年年初，公司根據銷售員的銷售業績分發年終獎，銷售員的銷售額（單位：十萬元）在區間
，
，
，
內對應的年終獎分別為2萬元，2.5萬元，3萬元，3.5萬元.已知銷售員的年銷售額都在區間
內，將這些數據分成4組：，，，，得到如下兩個頻率分布直方圖：
以上面數據的頻率作為概率，分別從組與組的銷售員中隨機選取1位，記
，
分別表示組與組被選取的銷售員獲得的年終獎.
（1）求的分布列及數學期望；
（2）試問組與組哪個組銷售員獲得的年終獎的平均值更高？為什么？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在平面直角坐標系
中，
，
分別為橢圓
的左、右焦點．動直線
過點，且與橢圓
相交于
，
兩點（直線與
軸不重合）．
（1）若點的坐標為
，求點坐標；
（2）點
，設直線
，
的斜率分別為
，
，求證：
；
（3）求
面積最大時的直線的方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知橢圓
： 
， 其左右焦點為
及
，過點
的直線交橢圓
于
兩點，線段
的中點為
， 
的中垂線與
軸和
軸分別交于
兩點，且
、
、
構成等差數列.
（1）求橢圓
的方程；
（2）記
的面積為
， 
（
為原點）的面積為
，試問：是否存在直線
，使得
？說明理由.
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