【題目】如圖,在三棱柱中,側棱
底面
,且
,
是棱
的中點,點
在側棱
上運動.
(1)當是棱
的中點時,求證:
平面
;
(2)當直線與平面
所成的角的正切值為
時,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2) .
【解析】試題分析:(1)取線段的中點
,連結
.可得四邊形
是平行四邊形,
,即可證明
平面
;(2)以
為原點,
,
,
所在直線分別為
、
、
軸建立空間直角坐標系,利用向量法二面角
的余弦值.
試題解析:(1)取線段的中點
,連結
.
∵,∴
,且
.
又為
的中點,∴
,且
.
∴,且
.∴四邊形
是平行四邊形.
∴.
又平面
平面
,∴
平面
.
(2)∵兩兩垂直,∴以
為原點,
所在直線分別為
軸,
軸,
軸,建立空間直角坐標系
,如圖,
∵三棱柱中,
平面
,
∴即為直線
與平面
所成的角.
設,則由
,得
.
∴.
∴,
設平面的一個法向量為
,
則
令,得
,即
.
又平面的一個法向量為
,∴
,
又二面角的平面角為鈍角,∴二面角
的余弦值為
.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知函數,其中
為常數.
(Ⅰ)若的圖像在
處的切線經過點(3,4),求
的值;
(Ⅱ)若,求證:
;
(Ⅲ)當函數存在三個不同的零點時,求
的取值范圍.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某家電公司根據銷售區域將銷售員分成,
兩組.
年年初,公司根據銷售員的銷售業績分發年終獎,銷售員的銷售額(單位:十萬元)在區間
,
,
,
內對應的年終獎分別為2萬元,2.5萬元,3萬元,3.5萬元.已知銷售員的年銷售額都在區間
內,將這些數據分成4組:
,
,
,
,得到如下兩個頻率分布直方圖:
以上面數據的頻率作為概率,分別從組與
組的銷售員中隨機選取1位,記
,
分別表示
組與
組被選取的銷售員獲得的年終獎.
(1)求的分布列及數學期望;
(2)試問組與
組哪個組銷售員獲得的年終獎的平均值更高?為什么?
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,
,
分別為橢圓
的左、右焦點.動直線
過點
,且與橢圓
相交于
,
兩點(直線
與
軸不重合).
(1)若點的坐標為
,求點
坐標;
(2)點,設直線
,
的斜率分別為
,
,求證:
;
(3)求面積最大時的直線
的方程.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知橢圓:
, 其左右焦點為
及
,過點
的直線交橢圓
于
兩點,線段
的中點為
,
的中垂線與
軸和
軸分別交于
兩點,且
、
、
構成等差數列.
(1)求橢圓的方程;
(2)記的面積為
,
(
為原點)的面積為
,試問:是否存在直線
,使得
?說明理由.
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