【題目】設函數f(x)=ax2–a–lnx,g(x)=,其中a∈R,e=2.718…為自然對數的底數.
(Ⅰ)討論f(x)的單調性;
(Ⅱ)證明:當x>1時,g(x)>0;
(Ⅲ)確定a的所有可能取值,使得f(x)>g(x)在區間(1,+∞)內恒成立.
【答案】(Ⅰ)當時,
<0,
單調遞減;當
時,
>0,
單調遞增;(Ⅱ)詳見解析;(Ⅲ)
.
【解析】
試題本題考查導數的計算、利用導數求函數的單調性,解決恒成立問題,考查學生的分析問題、解決問題的能力和計算能力.第(Ⅰ)問,對求導,再對a進行討論,判斷函數的單調性;第(Ⅱ)問,利用導數判斷函數的單調性,從而證明結論,第(Ⅲ)問,構造函數
=
(
),利用導數判斷函數
的單調性,從而求解a的值.
試題解析:(Ⅰ)
<0,
在
內單調遞減.
由
=0有
.
當時,
<0,
單調遞減;
當時,
>0,
單調遞增.
(Ⅱ)令=
,則
=
.
當時,
>0,所以
,從而
=
>0.
(Ⅲ)由(Ⅱ),當時,
>0.
當,
時,
=
.
故當>
在區間
內恒成立時,必有
.
當時,
>1.
由(Ⅰ)有,而
,
所以此時>
在區間
內不恒成立.
當時,令
=
(
).
當時,
=
.
因此,在區間
單調遞增.
又因為=0,所以當
時,
=
>0,即
>
恒成立.
綜上,.
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【題目】在正方形中,
,
分別為棱
和棱
的中點,則下列說法正確的是( )
A.∥平面
B.平面
截正方體所得截面為等腰梯形
C.平面
D.異面直線
與
所成的角為60°
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【題目】已知正四棱柱的底面邊長
,側棱長
,它的外接球的球心為
,點
是
的中點,點
是球
上的任意一點,有以下命題:
① 的長的最大值為9;
②三棱錐的體積的最大值是
;
③存在過點的平面,截球
的截面面積為
;
④三棱錐的體積的最大值為20;
⑤過點的平面截球
所得的截面面積最大時,
垂直于該截面.
其中是真命題的序號是___________
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【題目】海水養殖場進行某水產品的新、舊網箱養殖方法的產量對比,收獲時各隨機抽取了個網箱,測量各水箱產品的產量(單位:kg),其頻率分布直方圖如下圖所示.
(1)若用頻率視為概率,記表示事件“舊養殖法的箱產量低于
kg”,求事件
的概率;
(2)填寫以下列聯表,并根據此判斷是否有
的把握認為箱產量與養殖方法有關?
箱產量 | 箱產量 | 合計 | |
舊養殖方法 | |||
新養殖方法 | |||
合計 |
(3)根據箱產量頻率分布直方圖,求新養殖法箱產量的中位數的估計值(精確到)
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【題目】已知i為虛數單位,下列說法中正確的是( )
A.若復數z滿足,則復數z對應的點在以
為圓心,
為半徑的圓上
B.若復數z滿足,則復數
C.復數的模實質上就是復平面內復數對應的點到原點的距離,也就是復數對應的向量的模
D.復數對應的向量為
,復數
對應的向量為
,若
,則
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【題目】(本小題滿分12分)已知點為拋物線
的焦點,點
在拋物線
上,且
.
(Ⅰ)求拋物線的方程;
(Ⅱ)已知點,延長
交拋物線
于點
,證明:以點
為圓心且與直線
相切的圓,必與直線
相切.
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【題目】給出下列四個命題:
①某班級一共有52名學生,現將該班學生隨機編號,用系統抽樣的方法抽取一個容量為4的樣本,已知7號、33號、46號同學在樣本中,那么樣本中另一位同學的編號為23;
②一組數據1,2,3,3,4,5的平均數、眾數、中位數都相同;
③一組數據,0,1,2,3,若該組數據的平均值為1,則樣本的標準差為2;
④根據具有線性相關關系的兩個變量的統計數據所得的回歸直線方程為中,
,
,
,則
.
其中真命題為( )
A.①②④B.②④C.②③④D.③④
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【題目】已知函數.
(1)若函數的圖象在點
處的切線方程為
,求實數a,b的值;
(2)若,求
的單調減區間;
(3)對一切實數,求
的極小值函數
,并求出
的最大值.
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【題目】設等差數列的首項為0,公差為a,
;等差數列
的首項為0,公差為b,
.由數列
和
構造數表M,與數表
;
記數表M中位于第i行第j列的元素為,其中
,(i,j=1,2,3,…).
記數表中位于第i行第j列的元素為
,其中
(
,
,
).如:
,
.
(1)設,
,請計算
,
,
;
(2)設,
,試求
,
的表達式(用i,j表示),并證明:對于整數t,若t不屬于數表M,則t屬于數表
;
(3)設,
,對于整數t,t不屬于數表M,求t的最大值.
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