Question

在某次抽獎活動中，一個口袋里裝有5個白球和5個黑球，所有球除顏色外無任何不同，每次從中摸出2個球，觀察顏色后放回，若為同色，則中獎．
（Ⅰ）求僅一次摸球中獎的概率；
（Ⅱ）求連續2次摸球，恰有一次不中獎的概率；
（Ⅲ）記連續3次摸球中獎的次數為ξ，求ξ的分布列．

Answer 1

分析：（I）從裝有10只球的口袋中每次從中摸出2個球有

C

2 10

種方法，而摸出的球是同色的事件數是2

C

2 5

，由古典概型公式，代入數據得到結果，注意運算要正確，因為第二問要用本問的結果．
（II）連續兩次摸球，可看作是兩次獨立重復試驗，每次試驗中事件“中獎”發生的概率為P₁，恰有一次不中獎的概率為

C

1 2

(1-P1)P1
（III）連續3次摸球中獎的次數為ξ，由題意知ξ的取值是0、1、2、3，本題是一個獨立重復試驗，ξ服從二項分布，根據上面的結果，代入公式得到結果，寫出分布列．

解答：解：（Ⅰ）由題意知本題是一個古典概型，
∵從裝有10只球的口袋中每次從中摸出2個球有

C

2 10

種方法，
摸出的球是同色的事件數是2

C

2 5

，
設僅一次摸球中獎的概率為P₁，
則P₁=

2 C 2 5

C 2 10

=

4

9

（Ⅱ）設連續2次摸球（每次摸后放回），恰有一次不中獎的概率為P₂，則
P₂=

C

1 2

(1-P1)P1=2×

5

9

×

4

9

=

40

81

（Ⅲ）ξ的取值可以是0，1，2，3
P（ξ=0）=（1-P₁）³=

125

729

，
P（ξ=1）=

C

1 3

(1-P1)2P1=

300

729

=

100

243

，
P（ξ=2）=

C

2 3

(1-P1)P12═

240

729

=

80

243

，
P（ξ=3）=

P

3 1

=

64

729

所以ξ的分布列如下表

ξ	0	1	2	3
P	125 729	100 243	80 243	64 729

點評：求離散型隨機變量期望的步驟：①確定離散型隨機變量的所有可能取值．②求隨機變量取值的概率，寫出分布列，并檢查分布列的正確與否，即看一下所有概率的和是否為1．③求出期望．