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(2012•廈門模擬)本小題設有(1)(2)(3)三個選考題,每題7分,請考生任選兩題作答,滿分14分,如果多做,則按所做的前兩題計分.
(1)選修4-2:矩陣與變換
已知e1=
1
1
是矩陣M=
a
 1
0
 b
屬于特征值λ1=2的一個特征向量.
(I)求矩陣M;
(Ⅱ)若a=
2
1
,求M10a.
(2)選修4-4:坐標系與參數方程
在平面直角坐標系xOy中,A(l,0),B(2,0)是兩個定點,曲線C的參數方程為
AB
為參數).
(I)將曲線C的參數方程化為普通方程;
(Ⅱ)以A(l,0為極點,|
AB
|為長度單位,射線AB為極軸建立極坐標系,求曲線C的極坐標方程.
(3)選修4-5:不等式選講
(I)試證明柯西不等式:(a2+b2)(x2+y2)≥(ax+by)2(a,b,x,y∈R);
(Ⅱ)若x2+y2=2,且|x|≠|y|,求
1
(x+y
)
2
 
+
1
(x-y
)
2
 
的最小值.
分析:(1)(I)由題意,根據特征值與特征向量的定義,建立方程組,即可求得矩陣M;
(Ⅱ)求出矩陣M的特征多項式為f(λ)=(λ-1)(λ-2),從而可求矩陣M的另一個特征值與特征向量,將向量用特征向量線性表示,進而可求結論;
(2)(I)由
x=2+cosθ
y=sinθ
消去θ,即可得普通方程;
(Ⅱ)將原點移至A(1,0),則相應曲線C的方程為(x-1)2+y2=1,從而可得曲線C的極坐標方程;
(3)(I)利用作差法即可證得;
(Ⅱ)令u=x+y,v=x-y,則x=
u+v
2
,y=
u-v
2
,根據
x
2
 
+
y
2
 
=2
,可得u2+v2=4,由柯西不等式得:(
1
u2
+
1
v2
)(u2+v2)≥4
,從而可求
1
(x+y)
2
 
+
1
(x+y)
2
 
的最小值.
解答:(1)解:(I)由題意,
a1
0b
1
1
=2
1
1
,∴
a+1=2
b=2
,∴a=1,b=2
∴矩陣M=
11
02

(Ⅱ)由(I)知,矩陣M的特征多項式為f(λ)=(λ-1)(λ-2)
∴矩陣M的另一個特征值為λ2=1
e2
=
x
y
是矩陣M屬于特征值1的特征向量,則
11
02
x
y
=
x
y

x+y=x
2y=y
,取x=1,則
e2
=
1
0

a
=
e1
+
e2

M10
a
=210
1
1
+110
1
0
=
1025
1024

(2)(I)由
x=2+cosθ
y=sinθ
消去θ可得(x-2)2+y2=1;
(Ⅱ)將原點移至A(1,0),則相應曲線C的方程為(x-1)2+y2=1,即x2+y2-2x=0
∴曲線C的極坐標方程為ρ-2cosθ=0
(3)(I)證明:左邊-右邊=a2y2+b2x2-2abxy=(ay-bx)2≥0,∴左邊≥右邊
(
a
2
 
+
b
2
 
)(
x
2
 
+
y
2
 
)≥
(ax+by)
2
 
(a,b,x,y∈R)

(Ⅱ)令u=x+y,v=x-y,則x=
u+v
2
,y=
u-v
2

x
2
 
+
y
2
 
=2
,∴(u+v)2+(u-v)2=8,∴u2+v2=4
由柯西不等式得:(
1
u2
+
1
v2
)(u2+v2)≥4
,當且僅當u=v=
2
,即x=
2
,y=0
x=0,y=
2
時,
1
(x+y)
2
 
+
1
(x+y)
2
 
的最小值是1.
點評:本題是選做題,考查矩陣的性質和應用、特征值與特征向量的計算,考查坐標系與參數方程,考查柯西不等式的證明與運用,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

(2012•廈門模擬)函數f(x)=
x
3
 
-sinx+2
的圖象(  )

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(2012•廈門模擬)已知函數f(x)=
1
3
a
x
3
 
+
1
2
a
x
2
 
-bx+b-1
在x=1處的切線與x軸平行,若函數f(x)的圖象經過四個象限,則實數a的取值范圍是
3
16
<a<
6
5
3
16
<a<
6
5

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x
2
 
-2x=0
},則A∩(CUB)=(  )

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a
x
 
,y=sinax
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