Question

已知正六棱柱ABCDEF-A₁B₁C₁D₁E₁F₁的所有棱長均為2，G為AF的中點．
（Ⅰ）求證：F₁G∥平面BB₁E₁E；
（Ⅱ）求證：平面F₁AE⊥平面DEE₁D₁；
（Ⅲ）求異面直線EG與F₁A所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用平面AA1F₁F與平面BB₁E₁E平行，來證明直線F₁G∥平面BB₁E₁E即可．
（Ⅱ）先由AE⊥ED以及E₁E⊥AE⇒AE⊥平面DD₁E₁E，就可得平面F₁AE⊥平面DD₁E₁E．
（Ⅲ）利用底面ABCDEF是正六邊形得EF⊥BF．建立如下圖所示的空間直角坐標系，求出對應點的坐標以及和的坐標即可求出異面直線EG與F₁A所成角的余弦值．
解答：證明：（Ⅰ）因為AF∥BE，AF?平面BB₁E₁E，
所以AF∥平面BB₁E₁E，
同理可證，AA₁∥平面BB₁E₁E，
所以，平面AA1F₁F∥平面BB₁E₁E
又F₁G?平面AA1F₁F，所以F₁G∥平面BB₁E₁E
（Ⅱ）因為底面ABCDEF是正六邊形，所以AE⊥ED，
又E₁E⊥底面ABCDEF，所以E₁E⊥AE，
因為E₁E∩ED=E，所以AE⊥平面DD₁E₁E，
又AE?平面F₁AE，所以平面F₁AE⊥平面DD₁E₁E
（Ⅲ）由于底面ABCDEF是正六邊形，
所以EF⊥BF．如圖，
建立如圖所示的空間直角坐標系．則
E（0，2，0），G（，-，0），F₁（0，0，2），A（，-1，0）．
則=（，-，0），=（，-1，-2），
從而兩異面直線EG與F₁A所成角的余弦值為
cosθ===
點評：本題綜合考查了面面垂直的判定以及線面平行的判定和異面直線所成角的三角函數值的求法，是對立體幾何知識的綜合考查．在證明線面平行時，一般轉化為線線平行或面面平行來證．