Question

如圖，從A₁（1，0，0），A₂（2，0，0），B₁（0，1，0，）B₂（0，2，0），C₁（0，0，1），C₂（0，0，2）這6個點中隨機選取3個點．
（1）求著3點與原點O恰好是正三棱錐的四個頂點的概率；
（2）求著3點與原點O共面的概率．

Answer 1

【答案】分析：根據題意，分情況討論，列舉可得從6點中隨機取出3個點的情況數目，
（1）由正三棱錐的定義，在列舉的結果中分析可得選取的3點與原點O恰好是正三棱錐的四個頂點的情況數目，由等可能事件的概率公式，計算可得答案；
（2）根據題意，在列舉的結果中分析可得選取的3點與原點O共面的情況數目，由等可能事件的概率公式，計算可得答案．
解答：解：從這6點中隨機取出3個點，其所有的情況有
x軸上取2個點的有A₁A₂B₁，A₁A₂B₂，A₁A₂C₁，A₁A₂C₂，共4種情況，
y軸上取2個點的有B₁B₂A₁，B₁B₂A₂，B₁B₂C₁，B₁B₂C₂，共4種情況，
Z軸上取2個點的有C₁C₂A₁，C₁C₂A₂，C₁C₂B₁，C₁C₂B₂，共4種情況，
3個點在不同的坐標軸上有A₁B₁C₁，A₁B₁C₂，A₁B₂C₁，A₁B₂C₂，A₂B₁C₁，A₂B₁C₂，A₂B₂C₁，A₂B₂C₂，共8種情況，
則從這6點中隨機取出3個點，其所有的情況共有4+4+4+12=20種，
（1）選取的3點與原點O恰好是正三棱錐的四個頂點的情況有A₁B₁C₁，A₂B₂C₂，共2種，
則其概率P₁==，
（2）選取的3點與原點O共面的情況，有A₁A₂B₁，A₁A₂B₂，A₁A₂C₁，A₁A₂C₂，B₁B₂A₁，B₁B₂B₂，B₁B₂C₁，B₁B₂C₂，C₁C₂A₁，C₁C₂A₂，C₁C₂B₁，C₁C₂B₂，共12種，
則選取的3點與原點O共面的概率P₂==．
點評：本題考查等可能事件的概率計算，關鍵是結合空間幾何的知識，列舉得到（1）（2）小題中事件的情況數目．