Question

已知函數(shù)f（x）=x-2m2+m+3（m∈Z）為偶函數(shù)，且在（0，+∞）上為增函數(shù)．
（1）求m的值，并確定f（x）的解析式；
（2）若g（x）=log_a[f（x）-ax]（a＞0且a≠1），是否存在實數(shù)a，使g（x）在區(qū)間[2，3]上的最大值為2，若存在，求出a的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由冪函數(shù)在（0，+∞）上為增函數(shù)且m∈Z求出m的值，然后根據(jù)函數(shù)式偶函數(shù)進一步確定m的值，則函數(shù)的解析式可求；
（2）把函數(shù)f（x）的解析式代入g（x）=log_a[f（x）-ax]，求出函數(shù)g（x）的定義域，由函數(shù)g（x）在區(qū)間[2，3]上有意義確定出a的范圍，然后分類討論使g（x）在區(qū)間[2，3]上的最大值為2的a的值．

解答：解：（1）由函數(shù)f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)在（0，+∞）上為增函數(shù)，
得到-2m²+m+3＞0
解得-1＜m＜

3

2

，又因為m∈Z，
所以m=0或1．
又因為函數(shù)f（x）是偶函數(shù)
當m=0時，f（x）=x³，不滿足f（x）為偶函數(shù)；
當m=1時，f（x）=x²，滿足f（x）為偶函數(shù)；
所以f（x）=x²；
（2）g(x)=loga(x2-ax)，令h（x）=x²-ax，
由h（x）＞0得：x∈（-∞，0）∪（a，+∞）
∵g（x）在[2，3]上有定義，
∴0＜a＜2且a≠1，∴h（x）=x²-ax在[2，3]上為增函數(shù)．
當1＜a＜2時，g（x）_max=g（3）=log_a（9-3a）=2，
a2+3a-9=0⇒a=

-3±3 5

2

因為1＜a＜2，所以a=

-3+3 5

2

．
當0＜a＜1時，g（x）_max=g（2）=log_a（4-2a）=2，
∴a²+2a-4=0，解得a=-1±

5

，
∵0＜a＜1，∴此種情況不存在，
綜上，存在實數(shù)a=

-3+3 5

2

，使g（x）在區(qū)間[2，3]上的最大值為2．

點評：本題考查了冪函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，考查了復合函數(shù)的單調(diào)性，考查了分類討論的數(shù)學思想方法，訓練了利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，是中檔題．