Question

已知函數
（1）求f（x）的極值；
（2）若對任意x₁，x₂∈[-3，2]，有f（x₁）-f（x₂）≤m成立，求實數m的最小值．

Answer 1

解：（1）函數，則f′（x）==
令f′（x）=0解得x=-3，或x=1，且當x∈（-∞，-3）時，f′（x）＜0，故f（x）為減函數；
當x∈（-3，1）時，f′（x）＞0，故f（x）為增函數；
當x∈（1，+∞）時，f′（x）＜0，故f（x）為減函數．
故函數在x=-3處取到極小值f（-3）=，在x=1處取到極大值f（1）=
（2）由（1）可知函數f（x）在[-3，1]上為增函數，在[1，2]上為減函數，
故函數在[-3，2]上有唯一的極大值即是最大值為f（1）=，
又f（-3）=，f（2）=，故最小值為
f（x₁）-f（x₂）≤m成立，只需m≥[f（x₁）-f（x₂）]_max=
故實數m的最小值為
分析：（1）求導數，令其等于0判兩側的單調性得可得極值；
（2）由（1）可判區間[-3，2]的單調性，進而可得極值，可求最值，把恒成立問題轉化為最值問題，函數在所研究區間上的函數差值的最大值即為最大值與最小值的差．
點評：本題為函數極值與最值的求解，正確運用極值與最值的定義是解決問題的關鍵，屬中檔題．