Question

設函數f（x）=ax²+bx+

3

4

在x=0處取得極值，且曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線垂直于直線2x+4y-9=0．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求曲線y=f（x）和直線2x+4y-9=0所圍成的封閉圖形的面積；
（Ⅲ）設函數g（x）=

ex

f(x)

，若方程g（x）=m有三個不相等的實根，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因為”函數在x=0處取得極值“，則有f ′(0)=0，再由“曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線與直線2x+4y-9=0相互垂直”，
則有f ′(1)=2，從而求解；
（Ⅱ）利用微積分基本定理來求曲線y=f（x）和直線2x+4y-9=0所圍成的封閉圖形的面積；
（Ⅲ）由（Ⅰ）可得到：g(x)=

ex

x2+ 3 4

，令g ′(x)=0，有x²-2x+

3

4

=0，
則由其兩根來構建單調區間求出極值，只需使m大于極小值且小于極大值即可．

解答：解：（Ⅰ）因f（x）=ax²+bx+

3

4

，故f′（x）=2ax+b
又f（x）在x=0處取得極限值，故f ′(0)=0，從而b=0
由曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線與直線2x+4y-9=0相互垂直可知該切線斜率為2，
即f ′(1)=2，有2a=2，從而a=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x²+

3

4

，
聯立直線與曲線方程得到x=-

3

2

或x=1
故曲線y=f（x）和直線2x+4y-9=0所圍成的封閉圖形的面積為
S=

∫

1 - 3 2

(-

1

2

x+

9

4

)-(x2+

3

4

)dx=

∫

1 - 3 2

(-x2-

1

2

x+

3

2

)dx
=(-

1

3

x3-

1

4

x2+

3

2

x)

|

1 - 3 2

=

125

48

；
（Ⅲ）g ′(x)=

ex•(x2+ 3 4 )-2x•ex

(x2+ 3 4 )2

=

ex•(x2-2x+ 3 4 )

(x2+ 3 4 )2

令g ′(x)=0，得到x1=

1

2

，x2=

3

2

根據x₁，x₂列表，得到函數的極值和單調性

x	(-∞， 1 2 )	1 2	( 1 2 ， 3 2 )	3 2	( 3 2 ，+∞)
f  ′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	極大值	減	極小值	增

∴函數g（x）的極大值為 g(

1

2

)=e 

1

2

，函數g（x）的極小值為g(

3

2

)=

1

3

e 

3

2

 
∴

1

3

e 

3

2

＜m＜e 

1

2

點評：本題主要考查導數的幾何意義，函數的極值及函數的單調性．綜合性較強，充分考查了函數方程不等式三者的內在聯系與轉化．