Question

如下圖，在底面是菱形的四棱錐P—ABCD中，∠ABC=60°,PA=AC=a,PB=PD=2a,點E在PD上，且PE∶ED=2∶1.

(1)證明:PA⊥平面ABCD；

(2)在棱PC上是否存在一點F,使BF∥平面AEC?證明你的結論.

Answer 1

證明：(1)∵底面ABCD是菱形,∠ABC=60°,?

∴AB=AD=AC=a.?

在△PAB中,由PA²+AB²=2a²=PB²,?

可知PA⊥AB,?

同理PA⊥AD,?

∵AB∩AD=A,?

∴PA⊥平面ABCD.?

(2)當F是棱PC的中點時,BF∥平面AEC,證明如下.?

證法一:取PE的中點M,連結FM,則?

FM∥CE.                       ①?

由EM=PE=ED,知E是MD的中點.?

連結BM、BD，設BD∩AC=O，則O為BD的中點.?

所以BM∥OE.                  ②?

由①②知，平面BFM∥平面AEC.?

又BF 平面BFM,所以BF∥平面AEC.?

證法二:因為=+=+(+)?

=++?

=+(-)+(-)?

=-,?

所以、、共面.?

又BF 平面AEC,從而BF∥平面AEC.