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為研究“原函數與其反函數的圖象的交點是否在直線y＝x上”這個課題，我們分三步研究：

(1)首先選取如下函數：y＝2x＋1，，，分別求出以上函數與其反函數圖象的交點坐標；

(2)觀察分析上述結果得到研究結論；

(3)對得到的結論進行證明．

答案：
解析：

　　(1)與其反函數的交點坐標為；　　(1分)

　　與其反函數的交點坐標為；　　(3分)

　　與其反函數的交點坐標為．　　(6分)

　　(2)原函數圖象與其反函數圖象的交點關于直線對稱，但不一定在直線上．　　(10分)

　　(3)設點是的圖象與其反函數圖象的任一交點，由于原函數與反函數圖象關于直線對稱，則點也是的圖象與其反函數圖象的交點，且有．　　(12分)

　　①若，交點顯然在直線上．　　(13分)

　　②若且是增函數時，有，從而有，與矛盾；若且是增函數時，有，從而有，與矛盾．　　(15分)

　　③若且是減函數時，有，從而有成立，此時交點不在直線上；

　　同理，若且是減函數時，交點也不在直線上．　　(17分)

　　綜上，若函數是增函數，且的圖象與其反函數的圖象有交點，則交點一定在直線上；若函數是減函數，且的圖象與其反函數的圖象有交點，則交點不一定在直線上．　　(18分)


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

為研究“原函數與其反函數的圖象的交點是否在直線y=x上”這個課題，我們分三步研究：
（1）首先選取如下函數：y=2x+1，y=
2x
x+1
，y=-
x+1
，分別求出以上函數與其反函數圖象的交點坐標；
（2）觀察分析上述結果得到研究結論；（3）對得到的結論進行證明．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2006•崇文區一模）為研究“原函數圖象與其反函數圖象的交點是否在直線y=x上”這個課題，我們可以分三步進行研究：
（I）首先選取如下函數：y=2x+1，y=
2x
x+1
，y=-
x+1

求出以上函數圖象與其反函數圖象的交點坐標：y=2x+1與其反函數y=
x-1
2
的交點坐標為（-1，-1）y=
2x
x+1
與其反函數y=
x
2-x
的交點坐標為（0，0），（1，1）y=-
x+1
與其反函數y=x2-1，（x≤0）的交點坐標為（
1-
5
2
，
1-
5
2
），（-1，0），（0，-1）
（II）觀察分析上述結果得到研究結論；
（III）對得到的結論進行證明．現在，請你完成（II）和（III）．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

為研究“原函數與其反函數的圖象的交點是否在直線y=x上”這個課題，我們分三步研究：
（1）首先選取如下函數：y=2x+1，數學公式，數學公式，分別求出以上函數與其反函數圖象的交點坐標；
（2）觀察分析上述結果得到研究結論；（3）對得到的結論進行證明．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

為研究“原函數與其反函數的圖象的交點是否在直線y=x上”這個課題，我們分三步研究：
（1）首先選取如下函數：y=2x+1，y=
2x
x+1
，y=-
x+1
，分別求出以上函數與其反函數圖象的交點坐標；
（2）觀察分析上述結果得到研究結論；（3）對得到的結論進行證明．

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