【答案】
分析:(Ⅰ)先求出函數的定義域,再求出其導函數,令導函數大于0得到增區間,小于0得到減區間,考慮自變量取值最后得到單調區間即可;(Ⅱ)根據(Ⅰ)求出函數的最值,不等式m<f(x)≤-m
2+2m+e
2恒成立意思是f(x)
max≤-m
2+2m+e
2,f(x)
min≥m,求出解集得到m的整數解即可;(Ⅲ)在[0,2],由f(x)=x
2+x+a和條件f(x)=x
2+2x-2ln(1+x)相等得到x
2+x+a=x
2+2x-2ln(1+x)即x-a-2ln(1+x)=0,然后令g(x)=x-a-2ln(1+x),求出其導函數,由g′(x)>0得1<x≤2;由g′(x)<0得0≤x<1.g(x)在[0,1]上單調遞減,在[1,2]上單調遞增.得到g(0)和g(2)都大于等于0,g(1)小于零,列出不等式組,求出解集即可a的范圍.
解答:解析:(Ⅰ)由1+x>0得函數f(x)的定義域為(-1,+∞),

.
由f′(x)>0得x>0;由f′(x)<0得-1<x<0,
∴函數f(x)的遞增區間是(0,+∞);遞減區間是(-1,0).
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)在

上遞減,在[0,e-1]上遞增.
∴f(x)
min=f(0)=0
又∵

,f(e-1)=e
2-3,且

,
∴

時,f(x)
max=e
2-3.
∵不等式m<f(x)≤-m
2+2m+e
2恒成立,
∴

,
即

∵m是整數,∴m=-1.
∴存在整數m,使不等式m<f(x)≤-m
2+2m+e
2恒成立.
(Ⅲ)由f(x)=x
2+x+a得x-a-2ln(1+x)=0,x∈[0,2]
令g(x)=x-a-2ln(1+x),則

,x∈[0,2]
由g′(x)>0得1<x≤2;由g′(x)<0得0≤x<1.
∴g(x)在[0,1]上單調遞減,在[1,2]上單調遞增.
∵方程f(x)=x
2+x+a在[0,2]上恰有兩個相異的實根,
∴函數g(x)在[0,1)和(1,2]上各有一個零點,
∴

,
∴實數a的取值范圍是1-2ln2<a≤2-2ln3
點評:考查學生利用導數研究函數單調性的能力,會求不等數恒成立的條件,以及函數與方程的綜合運用能力.