Question

已知 p：f（x）=

1-x

3

，且|f（a）|＜2；q：集合A={x|x²+（a+2）x+1=0，x∈R}，B={x|x＞0}且A∩B=∅．
若p∨q為真命題，p∧q為假命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：結合f(x)=

1-x

3

，解絕對值不等式|f（a）|＜2，我們可以求出p為真時參數a的取值范圍；根據集合交集的定義及一元二次方程根的分布與系數的關系，可以判斷q為真時參數a的取值范圍；進而根據p∨q為真命題，p∧q為假命題，即p，q一真一假，分類討論后，綜合討論結果，即可得到答案．

解答：解：對p：所以|f (a)|=|

1-a

3

|＜2．
若命題p為真，則有-5＜a＜7；
對q：∵B={x|x＞0}且 A∩B=∅
∴若命題q為真，則方程g（x）=x²+（a+2）x+1=0無解或只有非正根．
∴△=（a+2）²-4＜0或

△≥0 g(0)≥0 - a+2 2 ＜0

，∴a＞-4．
∵p，q中有且只有一個為真命題
∴（1）p 真，q假：則有

-5＜a＜7 a≤-4

，即有-5＜a≤-4；
（2）p 假，q 真：則有

a≥7或a≤-5 a＞-4

，即有a≥7；
∴-5＜a≤-4或a≥7．

點評：本題考查的知識點是命題的真假判斷與應用，一元二次方程根的分面與系數的關系，由于兩個命題為真時，求參數a的取值范圍，都要用到轉化思想，故本題難度稍大．