Question

如圖，△ABC的外接圓的切線AE與BC的延長線相交于點E，∠BAC的平分線與BC交于點D．求證：ED²=EB•EC．

Answer 1

【答案】分析：根據已知EA是圓的切線，AC為過切點A的弦得兩個角相等，再結合角平分線條件，從而得到△EAD是等腰三角形，再根據切割線定理即可證得．
解答：證明：因為EA是圓的切線，AC為過切點A的弦，
所以∠CAE=∠CBA．
又因為AD是ÐBAC的平分線，所以∠BAD=∠CAD
所以∠DAE=∠DAC+∠EAC=∠BAD+∠CBA=∠ADE
所以，△EAD是等腰三角形，所以EA=ED．
又EA²=EC•EB，
所以ED²=EB•EC．
點評：此題主要是運用了弦切角定理的切割線定理．注意：切線長的平方應是EB和EC的乘積．