Question

設函數f（x）=kx³+3（k-1）x²-k²+1在區間（0，4）上是減函數，則k的取值范圍（　　）

• A、k＜

  1

  3

• B、0＜k≤

  1

  3

• C、0≤k≤

  1

  3

• D、k≤

  1

  3

Answer 1

分析：先求導函數f'（x），函數f（x）=kx³+3（k-1）x²-k²+1在區間（0，4）上是減函數轉化成f'（x）≤0在區間（0，4）上恒成立，討論k的符號，從而求出所求．

解答：解：f'（x）=3kx²+6（k-1）x，
∵函數f（x）=kx³+3（k-1）x²-k²+1在區間（0，4）上是減函數，
∴f'（x）=3kx²+6（k-1）x≤0在區間（0，4）上恒成立
當k=0時，成立
k＞0時，f'（4）=48k+6（k-1）×4≤0，即0＜k≤

1

3

k＜0時，f'（4）=48k+6（k-1）×4≤0，f'（0）≤0，k＜0
故k的取值范圍是k≤

1

3

故選D．

點評：本題主要考查導函數的正負與原函數的單調性之間的關系，即當導函數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減，同時考查了分析與解決問題的綜合能力，屬于基礎題．