Question

已知拋物線y²=2px（p>0），點P，線段OP的垂直平分線經過拋物線的焦點F，經過F作兩條互相垂直的弦AB、CD，設AB、CD的中點分別為M、N 。
（I）求拋物線的方程；
（II）直線MN是否經過定點？若經過，求出定點坐標；若不經過，試說明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）由P（），O（0，0），
∴k_OP=，OP的中點為，
∴OP的垂直平分線所在直線方程y，即2x+y-2=0。
令y=0，解得：x=1，
故得：p=2，
∴拋物線方程為：y²=4x。
（Ⅱ）假設直線MN過定點，
設A（x_A，y_A），B (x_B，y_B)，M(x_M，y_M)，
設直線AB的斜率為k，則直線AB的方程為y=k(x-1)，
聯立，可得：k²x²-(2k²+4)x+k²=0，
由韋達定理，得x_A+x_B=2+，
所以，x_M=1+，
所以，點M的坐標是（1+，-2k），
當k≠±1時，
直線MN的斜率為：，
直線方程為，
整理得：y(1-k²)=k(x-3)，
∴直線恒經過定點（3，0），
當k=±1時，直線MN方程為x=3，經過（3，0），
綜上，不論k為何值，直線MN恒過定點（3，0）。