Question

如果拋物線y=ax²-1上總有關于直線x+y=0對稱的相異兩點，試求a的范圍.

Answer 1

解法一:設拋物線y=ax²-1上關于x+y=0對稱的相異兩點坐標為A（x₀,y₀）、B（-y₀,-x₀）.

∵兩點都在拋物線上，

∴

①-②，得y₀+x₀=a(x₀²-y₀²).

∵x₀+y₀≠0,∴x₀=.③

將③代入②，得a²y₀²+ay₀+1-a=0.

∵y₀∈R,且(x₀,y₀)與(-y₀,-x₀)相異，

∴Δ=a²-4a²(1-a)>0.?

∴a>.

∴a的取值范圍是（，+∞）.

解法二:設拋物線上關于直線x+y=0對稱的兩點所在的直線方程為y=x+b,代入y=ax²-1,得?ax²-x-b-1=0.∵x∈R,且兩點為相異兩點，

∴Δ=1+4a(b+1)>0,即4ab+4a+1>0.①?

設兩對稱點為A（x₁,y₁）、B(x₂,y₂)，則?

x₁+x₂=,y₁+y₂=+2b.?

又∵+=0,

∴++b=0,即b=-.②

將②代入①，得a>.

∴a的取值范圍是（，+∞）.