Question

給出下列四個命題：
①“若am²＜bm²，則a＜b”的逆命題為真；
②若a＜-2，則函數f（x）=ax+3在區間[-1，2]上存在零點；
③函數y=2

2

sinxcosx在[-

π

4

，

π

4

]上是單調遞減函數；
④若lga+lgb=lg（a+b），則a+b的最小值為4．
其中真命題的序號是

②④

．（請把所有真命題的序號都填上）．

Answer 1

分析：①先求出命題的逆命題，再利用特殊值法取m=0，進行判斷；
②f（x）為一次函數，令f（x）=0，求出零點，利用a＜-2進行判斷；
③利用倍角公式對其進行化簡，y=2

2

sinxcosx，再利用三角函數的性質進行判斷；
④lga+lgb=lg（a+b），因為lga+lgb=lgab=lg（a+b），可以推出ab=a+b，利用均值不等式進行判斷；

解答：解：①“若am²＜bm²，則a＜b”其逆命題為：若a＜b，am²＜bm²，
取m=0，若a＜b，可得am²=bm²=0，故①錯誤；
②函數f（x）=ax+3在區間[-1，2]上存在零點，令f（x）=0，可得x=

-3

a

，因為a＜-2，
f（0）=3＞0，f（2）=2a+3＜2×（-2）+3=-1，
∴f（0）f（2）＜0，說明f（x）在[0，2]上有零點，函數f（x）=ax+3在區間[-1，2]上存在零點；
故②正確；
③函數y=2

2

sinxcosx=

2

sin2x，y的增區間：-

π

2

+2kπ≤2x≤

1

2

π+2kπ，k∈Z，可得-

π

4

+kπ≤x≤

π

4

+kπ，k∈Z，
可以取k=0，可得f（x）的增區間：[-

π

4

，

π

4

]，
∴函數y=2

2

sinxcosx在[-

π

4

，

π

4

]上是單調遞增函數
故③錯誤；
④lga+lgb=lg（a+b）=lg（ab），可得ab=a+b≥2

ab

，可得

ab

≥2，
∴a+b≥2

ab

≥2×2=4（a=b=2等號成立），
∴a+b的最小值為4，故④正確；
故答案為：②④；

點評：此題主要考查函數的零點定理的應用，三角函數的單調性以及均值不等式的應用，是一道綜合題；