Question

有一批貨物需要用汽車從城市甲運至城市乙，已知從城市甲到城市乙只有兩條公路，且通過這兩條公路所用的時間互不影響．
據調查統計，通過這兩條公路從城市甲到城市乙的200輛汽車所用時間的頻數分布如表：

所用的時間（天數）	10	11	12	13
通過公路1的頻數	20	40	20	20
通過公路2的頻數	10	40	40	10

（I）為進行某項研究，從所用時間為12天的60輛汽車中隨機抽取6輛．
（i）若用分層抽樣的方法抽取，求從通過公路1和公路2的汽車中各抽取幾輛；
（ii）若從（i）的條件下抽取的6輛汽車中，再任意抽取兩輛汽車，求這兩輛汽車至少有一輛通過公路1的概率．
（II）假設汽車4只能在約定日期（某月某日）的前11天出發，汽車1只能在約定日期的前12天出發．為了盡最大可能在各自允許的時間內將貨物運往城市乙，估計汽車4和汽車1應如何選擇各自的路徑．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）（i）根據題意，所用時間為12天共有60輛汽車，其中公路1有20輛，公路2有40輛，由分層抽樣方法計算可得答案，
（ii） 通過公路1的兩輛汽車分別用a、b表示，通過公路2的4輛汽車分別用c、d、e、f表示，列舉從中任意抽取2輛汽車的情況，可得其情況的數目以及至少有1輛經過公路1的情況數目，由古典概型計算公式，計算可得答案；
（Ⅱ）根據題意，設事件C₁、C₂分別表示汽車A在前11天出發選擇公路1、2將貨物運往城市乙；事件D₁、D₂分別分別表示汽車B在前12天出發選擇公路1、2將貨物運往城市乙，由頻率、頻數的關系計算可得頻率分布表，即可得P（C₁）與P（C₂），P（D₁）與P（D₂）的大小，比較可得答案．
解答：解：（Ⅰ） （i）根據題意，所用時間為12天共有60輛汽車，其中公路1有20輛，公路2有40輛，
公路1抽取6×=2輛汽車，
公路2抽取6-2=4輛汽車．
（ii） 通過公路1的兩輛汽車分別用a、b表示，通過公路2的4輛汽車分別用c、d、e、f表示，
任意抽取2輛汽車共有15種可能的結果：依次為（a，b）、（a，c）、（a、d）、（a、e）、（a，f）、
（b，c）、（b、d）、（b、e）、（b，f）、（c、d）、
（c、e）、（c，f）、（d，e）、（d，f）、（e，f），
其中至少有1輛經過公路1的有9種，
所以至少有1輛經過1號公路的概率為=；
（Ⅱ）頻率分布表，如下：

所用時間	10	11	12	13
公路1的頻率	0.2	0.4	0.2	0.2
公路2的頻率	0.1	0.4	0.4	0.1

設事件C₁、C₂分別表示汽車4在前11天出發選擇公路1、2將貨物運往城市乙；事件D₁、D₂分別分別表示汽車1在前12天出發選擇公路1、2將貨物運往城市乙．
P（C₁）=0.2+0.4=0.6，P（C₂）=0.1+0.4=0.5，
P（C₁）＞P（C₂），
∴汽車4應選擇公路1；
P（D₁）=0.2+0.4+0.2=0.8，P（D₂）=0.1+0.4+0.4=0.9，
P（D₁）＜P（D₂），
∴汽車1應選擇公路2．
點評：本題考查古典概率的計算，涉及頻率分布表的計算與應用與分層抽樣方法；關鍵正確分析頻率分布表，得到有關的數據．