Question

點M是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上的點，以M為圓心的圓與x軸相切于橢圓的焦點F，圓M與y軸相交于P，Q，若△PQM是鈍角三角形，則橢圓離心率的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：由圓M與X軸相切與焦點F，設M（c，y），則y=

b2

a

或y=-

b2

a

，所以圓的半徑為

b2

a

，過M作MN⊥Y軸與N，則PN=NQ，MN=c，PN=NQ=

( b2 a )2-c2

，由∠PQM為鈍角，知

(a2-c2) 2

2c2

＞2c2，由此能夠求出橢圓離心率的取值范圍．

解答：解：∵圓M與X軸相切于焦點F，
∴不妨設M（c，y），則（因為相切，則圓心與F的連線必垂直于X軸）
M在橢圓上，則y=

b2

a

或y=-

b2

a

（a²=b²+c²），
∴圓的半徑為

b2

a

，
過M作MN⊥Y軸與N，則PN=NQ，MN=c（PN，NQ均為半徑，則△PQM為等腰三角形）
∴PN=NQ=

( b2 a )2-c2

，
∵∠PQM為鈍角，則∠PMN=∠QMN＞45°
即PN=NQ＞MN=c
所以得

( b2 a )2-c2

＞c，即

b4

a2

-c2＞c2，
得

(a2-c2) 2

2c2

＞2c2，
a²-2c²+c²e²＞2c²

1

e2

-4+e²＞0，
e⁴-4e²+1＞0
（e²-2）²-3＞0
e²-2＜-

3

（0＜e＜1）
e²＜-

3

+2
∴0＜e＜

6 - 2

2

．
故答案為：（0，

6 - 2

2

）．

點評：本題考查橢圓的離心率的取值范圍，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．