Question

已知函數f（x）=

1

2

sin2xsin∅+cos2xcos∅- 

1

2

sin(

π

2

+∅）（0＜∅＜π） 當x=

π

6

時，函數f（x）取得最大值（1）求∅的值．（2）在△ABC中，f（A）=

3

4

，A∈(

π

6

，

π

2

)，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若c=l，△ABC的面積為

1

2

，求邊a．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數的二倍角公式及三角函數的誘導公式、兩角差的余弦公式化簡f（x）；令x=

π

6

時整體角為kπ，求出∅
（2）將角A代入f（x），求出角A，利用三角函數的面積公式求出邊b；利用三角形的余弦定理求出邊a．

解答：解：（1）f（x）=

1

2

sin2xsin∅+

1+cos2x

2

cos∅- 

1

2

cos∅=

1

2

cos(2x-∅)（0＜∅＜π）
∴2×

π

6

-∅=kπ
∴∅=

π

3

（2）f（A）=

1

2

cos(2A-

π

3

)=

3

4

A∈(

π

6

，

π

2

)
則2A-

π

3

=

π

6

所以A=

π

4

由S△ABC=

1

2

bcsinA=

2 b

4

=

1

2

得b=

2

由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA=1
所以a=1

點評：本題考查三角函數的二倍角公式、考查三角函數的誘導公式、考查三角形的面積公式、考查三角形的余弦定理．