Question

已知函數f(x)=

1

1-x2

，
（1）討論函數f（x）的性質（定義域，奇偶性，單調性（不要求證明））；
（2）根據函數f（x）的性質畫出y=f（x）的圖象（草圖）；
（3）判斷f（-2-a²）與f（a²+1）（其中a∈R，且a≠0）的大小，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據使函數的解析式有意義的原則，可以得到函數的定義域，根據函數奇偶性的定義，可以判斷函數的奇偶性，根據復合函數同增異減的原則，可以判斷出函數的單調性．
（2）根據（1）中函數的性質，我們易畫出y=f（x）的圖象（草圖）；
（3）根據函數的奇偶性，我們可得f（-2-a²）=f（a²+2），再根據函數的單調性，分析兩個自變量的大小，即可得到答案．

解答：解：（1）函數f（x）的定義域為：（-∞，-1）∪（-1，1）∪（1，+∞）
函數f（x）為偶函數，
函數f（x）在區間（-∞，-1），[0，1）上為增函數，
在區間（-1，0]，（1，+∞）上為減函數
（2）由（1）中函數的性質，可得y=f（x）的圖象如圖所示：
（3）∵函數f（x）為偶函數
∴f（-2-a²）=f（a²+2）
又∵f（x）在區間（1，+∞）上為增函數，且a²+2＞a²+1≥1
∴f（a²+2）＞f（a²+1）
即f（-2-a²）＞f（a²+1）

點評：本題考查的知識點是奇偶性與單調性的綜合，同時也考查了函數的定義域，圖象等，是函數圖象和性質的綜合考查，熟練掌握基本初等函數的性質和復合函數性質的處理方法，是解答本題的關鍵．