Question

設函數f（x）=ax+b，其中a，b為常數，f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f（f_n（x）），n∈N^*，若f₃（x）=8x+21，則ab=

6

，f_n（x）=

2ⁿx+3×2ⁿ-3

．

Answer 1

分析：根據題意分別推出f₂（x），f₃（x）的解析式，又f₃（x）=8x+21，根據兩多項式相等時，系數對應相等，即可列出關于a與b的方程，求出方程的解即可得到a與b的值，進而求出ab的值，再根據已知條件求出數列的前幾項，然后總結歸納其中的規律，寫出其通項．

解答：解：由f₁（x）=f（x）=ax+b，得到f₂（x）=f（f₁（x））=a（ax+b）+b=a²x+ab+b，
f₃（x）=f（f₂（x））=a[a（ax+b）+b]+b=a³x+a²b+ab+b，
即a³=8①，a²b+ab+b=21②，
由①解得：a=2，把a=2代入②解得：b=3，
則ab=6．
從而f（x）=2x+3，f₁（x）=f（f（x）），f_n（x）=f（f_n-1（x））（n∈N^*，n≥2），
∴f₁（x）=2x+3=2¹x+3•2¹-3
f₂（x）=4x+9=2²x+3•2²-3
f₃（x）=8x+21=2³x+3•2³-3
…
不妨猜想：f_n（x）=2ⁿx+3×2ⁿ-3
故答案為：6；2ⁿx+3×2ⁿ-3．

點評：此題考查學生會根據一系列等式推出一般性的規律，掌握兩多項式相等時滿足的條件，是一道基礎題．