Question

雙曲線C與橢圓+=1有相同的焦點，直線y=x為C的一條漸近線.

(Ⅰ)求雙曲線C的方程；

(Ⅱ)過點P(0，4)的直線l,交雙曲線C于A、B兩點，交x軸于Q點(Q點與C的頂點不重合).當=λ₁=λ₂,且λ₁+λ₂=-時，求Q點的坐標.

Answer 1

解：(Ⅰ)設雙曲線方程為-=1.

    由橢圓+=1求得兩焦點為(-2,0),(2,0).

∴對于雙曲線C：c=2,又y=x為雙曲線C的一條漸近線，

∴=  解得a²=1,b²=3,∴雙曲線C的方程為：x²-=1.

(Ⅱ)解法一：由題意知直線l的斜率k存在且不等于零.

    設l的方程：y=kx+4,A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),

    則Q(-,0),

∵=λ₁,

∴(-,-4)=λ₁(x₁+,y₁).

∴

∵A(x₁,y₁)在雙曲線C上，∴--1=0,

∴16+32λ₁+16-k²-k²=0,

∴(16-k²)+32λ₁+16-k²=0,

    同理有：(16-k²)λ²₂+32λ₂+16-k²=0,

    若16-k²=0,則直線l過頂點，不合題意，∴16-k²≠0,

∴λ₁、λ₂是二次方程(16-k²)x²+32x+16-k²=0的兩根，

∴λ₁+λ₂==-,∴k²=4,此時Δ＞0,∴k=±2.

∴所求Q點坐標為(±2,0).

解法二：由題意知直線l的斜率k存在且不等于0，設l的方程為：

y=kx+4,A(x₁,y₁),B(x₂,y₂,)則Q(-,0),∵=λ₁,

∴Q分的比為λ₁,由定比分點坐標公式得

下同解法一

解法三：由題意知直線l的斜率k存在且不等于0.

    設l的方程：y=kx+4,A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)，則Q(-,0),∵=λ₁=λ₂,∴(-,-4)=λ₁(x₁+,y₁)=λ₂(x+,y₂),

∴-4=λ₁y₁=λ₂y₂,λ₁=-,λ₂=-,又λ₁+λ₂=-,

∴=.

    即3(y₁+y₂)=2y₁y₂.

    將y=kx+4代入x²-=1得

(3-k²)y²-24y+48-3k²=0.

∵3-k²≠0,否則l與漸近線平行,

∴y₁+y₂=,y₁y₂=.

∴3×=2×.

∴k=±2.

∴Q(±2,0).

解法四：

    由題意知直線l的斜率k存在且不等于零

    設l的方程：y=kx+4,A(x₁,y₁),B(x₂,y₂,)則Q(-,0).

∵=λ₁,

∴(-,-4)=λ₁(x₁+,y₁).

∴λ₁==-.

    同理  λ₂=-.

λ₁+λ₂=--=-.

    即2k²x₁x₂+5k(x₁+x₂)+8=0.                   (*)

    又

    消去y得

(3-k²)x²-8kx-19=0.

    當3-k²=0時，則直線l與雙曲線的漸近線平行，不合題意,3-k²≠0.

    由韋達定理有：

   代入(*)式得k²=4,k=±2

∴所求Q點的坐標為(±2,0).