Question

已知不等式2x-1＞m（x²-1）．
（1）若對于所有實數x，不等式恒成立，求m的取值范圍；
（2）若對于m∈[-2，2]不等式恒成立，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）等價于mx²-2x+（1-m）＜0對任意實數x恒成立，分m=0和m≠0兩種情況討論，再利用大于0恒成立須滿足的條件：開口向上，判別式小于0來解m的取值范圍．
（2）等價于（x²-1）m-（2x-1）＜0在[-2，2]上恒成立，利用一次函數要么為增函數，要么為減函數兩種情況分別討論即可．

解答：解：（1）原不等式等價于mx²-2x+（1-m）＜0對任意實數x恒成立
當m=0時，-2x+1＜0?x＞

1

2

不恒成立
∴

m＜0 △=4-4m(1-m)＜0

，
∴m無解．故m不存在．

（2）設f（m）=（x²-1）m-（2x-1）
要使f（m）＜0在[-2，2]上恒成立，當且僅當

f(2)＜0 f(-2)＜0

?

2x2-2x-1＜0 -2x2-2x+3＜0

∴

-1+ 7

2

＜x＜

1+ 3

2

∴x的取值范圍是{x|

-1+ 7

2

＜x＜

1+ 3

2

}

點評：本題考查了一次函數和二次函數的恒成立問題．二次函數的恒成立問題分兩類，一是大于0恒成立須滿足開口向上，且判別式小于0，二是小于0恒成立須滿足開口向下，且判別式小于0．