Question

已知函數(shù)f（x）=x-klnx，常數(shù)k＞0．
（I）若x=1是函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若函數(shù)g（x）=xf（x）在區(qū)間（1，2）上是增函數(shù)，求k的取值范圍；
（III）設(shè)函數(shù)F（x）=，求證：F（1）F（2）F（3）…F（2n）＞2ⁿ（n+1）ⁿ（n∈N^*）．

Answer 1

（Ⅰ）解：求導(dǎo)函數(shù)，可得，因?yàn)閤=1是函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，f′（1）=0，∴k=1，…（2分）
所以
令f′（x）＞0，可得x∈（1，+∞）∪（-∞，0），∵x＞0，∴x∈（1，+∞）
令f′（x）＜0，可得x∈（0，1）…（3分）
故函數(shù)F（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1）．…（4分）
（Ⅱ）解：因?yàn)楹瘮?shù)g（x）=xf（x）在區(qū)間（1，2）上是增函數(shù)，則g′（x）=2x-k（1+lnx）≥0對(duì)x∈（1，2）恒成立，即對(duì)x∈（1，2）恒成立　　　　　　　　 …（5分）
令，則知對(duì)x∈（1，2）恒成立．…（6分）
所以在x∈（1，2）單調(diào)遞增，h_min（x）＞h（1）=2..…．…（7分）
所以k≤2．（8分）
（Ⅲ）證明：F（x）==，F(xiàn)（1）F（2）F（3）…F（2n）=（）（）…（）
因?yàn)椋?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/159022.png' />）（）=++＞（2n-k）（k+1）+2=2n+2+2nk-k²-k=2n+2+k（2n-k-1）＞2n+2．…（10分）
（k=0，1，2，3…n-1）
所以（）（）＞2n+2，（）（）＞2n+2，…，（）（）＞2n+2，（）（）＞2n+2．…（11分）
相乘，得：F（1）F（2）F（3）…F（2n）
=（）（）…（）＞（2n+2）ⁿ=2ⁿ（n+1）ⁿ．…（12分）
分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)x=1是函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，可求k的值，令f′（x）＞0，可得函數(shù)F（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，令f′（x）＜0，可得單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)g（x）=xf（x）在區(qū)間（1，2）上是增函數(shù)，可得g′（x）=2x-k（1+lnx）≥0對(duì)x∈（1，2）恒成立，即對(duì)x∈（1，2）恒成立，令，求出最小值，即可求得k的取值范圍；
（Ⅲ）先證明（）（）＞2n+2，再利用疊乘即可得到結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查恒成立問題，考查不等式的證明，解題的關(guān)鍵是分離參數(shù)，確定函數(shù)的最值．