Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4．
（1）證明：AC⊥BC₁；
（2）求二面角C₁-AB-C的余弦值大小．

Answer 1

分析：（1）根據AC，BC，CC₁兩兩垂直，建立如圖以C為坐標原點，建立空間直角坐標系C-xyz，寫出要用的點的坐標，根據兩個向量的數量級等于0，證出兩條線段垂直．
（2）根據所給的兩個平面的法向量一個可以直接看出另一個設出根據數量級等于0，求出結果，根據兩個平面的法向量所成的角求出兩個平面所成的角．

解答：解∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面三邊長AC=3，BC=4，AB=5，
∴AC，BC，CC₁兩兩垂直．
如圖以C為坐標原點，建立空間直角坐標系C-xyz，則C（0，0，0），A（3，0，0），C₁（0，0，4），B（0，4，0），B₁（0，4，4）． …（2分）
證明：（1）∵

AC

=（-3，0，0），

BC1

=（0，-4，4），
∴

AC

•

BC1

=0，
故AC⊥BC₁…（4分）
解：（2）平面ABC的一個法向量為

m

=（0，0，1），
設平面C₁AB的一個法向量為

n

=（x，y，z），

AC1

=（-3，0，4），

AB

=（-3，4，0），
由

n • AC1 =0 n • AB  =0

得：

-3x+4z=0 -3x+4y=0

…（6分）
令x=4，則z=3，y=3則

n

=（4，3，3）．…（7分）
故cos＜

m

，

n

＞=

3

34

=

3 34

34

．
所求二面角的大小為  arccos

3 34

34

點評：本題考查直線與平面平行的判斷，本題的關鍵是在平面上找出與直線平行的直線，根據有中點找中點的方法來解答．