Question

如圖，在△ABC中，AC=BC=1，∠ACB=90°，點D在斜邊AB上，∠BCD=α（0＜α＜

π

2

）．把△BCD沿CD折起到△B′CD的位置，使平面B′CD⊥平面ACD．
（1）求點B′到平面ACD的距離（用α表示）；
（2）當AD⊥B′C時，求三棱錐B′-ACD的體積．

Answer 1

分析：（1）先作出表示點B′到平面ACD的距離的線段，再用三角函數求解即可；
（2）先計算S_△ACD=

1

2

•

1

2

AC•BC=

1

4

，B′E=sin

π

4

=

2

2

，進而可求V_B′-ACD=

1

3

•

1

4

•

2

2

=

2

24

．

解答：解：（1）作B′E⊥CD于E．
∵平面B′CD⊥平面ACD，
∴B′E⊥平面ACD．
∴B′E的長為點B′到平面ACD的距離．
B′E=B′C•sinα=sinα．
（2）∵B′E⊥平面ACD，
∴CE為B′C在平面ACD內的射影．
又AD⊥B′C，∴AD⊥CD（CE）．
∵AC=BC=1，∠ACB=90°，
∴D為AB中點，且α=

π

4

．
∴S_△ACD=

1

2

•

1

2

AC•BC=

1

4

，B′E=sin

π

4

=

2

2

．
∴V_B′-ACD=

1

3

•

1

4

•

2

2

=

2

24

．

點評：本題以平面圖形的翻折為載體，考查點到面的距離，考查三棱錐的體積，作出表示點B′到平面ACD的距離的線段是關鍵．