【題目】已知函數
．
（Ⅰ）若
，求
的單調性和極值；
（Ⅱ）若函數
至少有1個零點，求
的取值范圍．
【答案】（Ⅰ）
在
上單調遞減，在
上單調遞增，極小值為-2，無極大值 （Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）求導得到
，分別得到當
時，
，當
時，
，判斷出
單調性，從而得到其極值；
（Ⅱ）根據題意得到
，令
，求導得到
，由
得
，令
，由零點存在定理得到存在
，使得
，由得到
的最小值，再對
的零點進行分類討論，得到答案.
（Ⅰ）當
時，
，
∴
當時，
，
，
∴
，
當時，
，
，
∴
∴在上單調遞減，在上單調遞增
在
處取得極小值，極小值為
，無極大值
（Ⅱ）∵
，
由
得
令，
則
由得．
令，當
時，
，
∴在
單調遞增，
∵
，
，
∴存在，使得
且當
時，
，即
，
當
時，
，即
∵
，
，
∴當時，
；
當時，
，
∴
在
上單調遞減，在
上單調遞增
∴在
處取得最小值
∵，
∴
，即
，
∴
，即
∴當
時，函數無零點，
當
時，∵
，
∴函數至少有1個零點，
故
的取值范圍是.
陽光課堂課時作業系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知圓
：
，
：
，動圓C與圓，都相切，則動圓C的圓心軌跡E的方程為________________；斜率為
的直線l與曲線E僅有三個公共點，依次為P，Q，R，則
的值為________.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某高中數學建模興趣小組的同學為了研究所在地區男高中生的身高與體重的關系，從若干個高中男學生中抽取了1000個樣本，得到如下數據.
數據一：身高在
（單位：
）的體重頻數統計
體重 （ |
|
|
|
|
|
|
|
|
人數 | 20 | 60 | 100 | 100 | 80 | 20 | 10 | 10 |
數據二：身高所在的區間含樣本的個數及部分數據
身高 |
|
|
|
|
|
平均體重
| 45 | 53.6 | 60 | 75 |
（1）依據數據一將上面男高中生身高在
（單位：）體重的頻率分布直方圖補充完整，并利用頻率分布直方圖估計身高在（單位：）的中學生的平均體重；（保留小數點后一位）
（2）依據數據一、二，計算身高（取值為區間中點）和體重的相關系數約為0.99，能否用線性回歸直線來刻畫中學生身高與體重的相關關系，請說明理由；若能，求出該回歸直線方程；
（3）說明殘差平方和或相關指數
與線性回歸模型擬合效果之間關系.（只需寫出結論，不需要計算）
參考公式：
，
.
參考數據：（1）
；（2）
；（3）
，
，
；（4）
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】記焦點在同一條軸上且離心率相同的橢圓為“相似橢圓”.已知橢圓
，以橢圓
的焦點為頂點作相似橢圓
.
(Ⅰ)求橢圓的方程；
(Ⅱ)設直線
與橢圓交于
兩點，且與橢圓僅有一個公共點，試判斷
的面積是否為定值(
為坐標原點)？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的右焦點為
，右準線為
.點
是橢圓
上異于長軸端點的任意一點，連接
并延長交橢圓于點
，線段
的中點為
，
為坐標原點，且直線
與右準線
交于點
.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若
，求點的坐標；
（3）試確定直線
與橢圓的公共點的個數，并說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
，將
的圖像向右平移
個單位后，再保持縱坐標不變，橫坐標變為原來的2倍，得到函數
的圖象.
（1）求函數在
上的值域及單調遞增區間；
（2）若
，且
，
，求
的面積.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
，四點
，
，
，
中恰有三點在橢圓
上，拋物線
焦點到準線的距離為
.
（1）求橢圓、拋物線
的方程；
（2）過橢圓右頂點Q的直線
與拋物線交于點A、B，射線
、
分別交橢圓于點
、
.
（i）證明：
為定值；
（ii）求
的面積的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】將直角三角形
沿斜邊上的高
折成
的二面角，已知直角邊
，那么下面說法正確的是_________．
（1） 平面
平面
（2）四面體
的體積是
（3）二面角
的正切值是
（4）
與平面所成角的正弦值是
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