Question

已知A，B兩點在拋物線C：x²＝4y上，點M(0,4)滿足＝λ.

（1）求證：⊥；

（2）設(shè)拋物線C過A、B兩點的切線交于點N.

①求證：點N在一條定直線上；    

②設(shè)4≤λ≤9，求直線MN在x軸上截距的取值范圍．

Answer 1

解：設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

l_AB：y＝kx＋4與x²＝4y聯(lián)立得x²－4kx－16＝0，        

Δ＝(－4k)²－4(－16)＝16k²＋64>0，

x₁＋x₂＝4k，x₁x₂＝－16，                      

(1)證明：∵·＝x₁x₂＋y₁y₂＝x₁x₂＋(kx₁＋4)(kx₂＋4)

＝(1＋k²)x₁x₂＋4k(x₁＋x₂)＋16

＝(1＋k²)(－16)＋4k(4k)＋16＝0

∴⊥.                ………………（4分）                  

(2)(ⅰ)證明：過點A的切線：

y＝x₁(x－x₁)＋y₁＝x₁x－x₁²，　　①

過點B的切線：y＝x₂x－x₂²，　�、�                   

聯(lián)立①②得點N(，－4)，所以點N在定直線y＝－4上．……（8分）

(ⅱ)∵＝λ，

∴(x₁，y₁－4)＝λ(－x_2,4－y₂)，

聯(lián)立x₁＝－λx₂，x₁＋x₂＝4k，x₁x₂＝－16，

可得k²＝＝＝λ＋－2,4≤λ≤9，       ∴≤k²≤.

直線MN：y＝x＋4在x軸上的截距為k.

∴直線MN在x軸上截距的取值范圍是[－，－]∪[，]．