Question

設向量

OM

=(-

3

，1)，向量

ON

=(cosα，-sinα)(0＜α＜n)
（1）若向量

OM

⊥

ON

，求tanα的值；
（2）求|

MN

|的最大值及此時α的值．

Answer 1

分析：（1）利用向量

OM

⊥

ON

，推出

OM

•

ON

=0，得到 關于cosα，sinα的關系式，然后求tanα的值；
（2）表示出|

MN

|，化為一個角的一個三角函數的形式，根據0＜α＜π，求|

MN

|的最大值及此時α的值．

解答：解：（1）由于 向量

OM

⊥

ON

，
∴

OM

•

ON

=0，
則-

3

cosα-sinα=0，（3分）
顯然cosα≠0，兩邊同時除以cosα得，tanα=-

3

；（6分）
（2）由于|

MN

|=

(cosα+ 3 )2+(-sinα-1)2

，（8分）
即|

MN

|=

5+4sin(α+ π 3 )

由于0＜α＜π，則

π

3

＜α+

π

3

＜

4π

3

（11分）
則α+

π

3

=

π

2

，即α=

π

6

時，|

MN

|最大值為3．

點評：本題考查數量積判斷兩個平面向量的垂直關系，向量的模，考查學生運算能力，三角函數的值域，是中檔題．