Question

【題目】已知函數．

（1）若曲線在點處的切線與直線垂直，求實數的值；

（2）若恒成立，求實數的取值范圍；

（3）證明：

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）證明見解析

【解析】

試題（1）利用導數的幾何意義求曲線在點處的切線方程，注意這個點的切點；

（2）對于恒成立的問題，常用到以下兩個結論：恒成立，恒成立；

（3）證明不等式，注意應用前幾問的結論.

試題解析：（1）函數的定義域為，

所以，又切線與直線垂直，

所以切線斜率為，從而，解得 ,

（2）若，則則在上是增函數

而不成立，故

若，則當時，；

當時，

所以在上是增函數，在上是減函數,

所以的最大值為

要使恒成立，只需，解得

（3）由（2）知，當時，有在上恒成立，

且在上是增函數，

所以在上恒成立 .

令，則

令則有

以上各式兩邊分別相加，

得

即

故