Question

在平面直角坐標系中，已知點A（-1，0），B（1，0），動點P滿足PA⊥PB，
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）若過點Q（1，2）的直線l與點P的軌跡有且只有一個交點，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）設出P的坐標為（x，y），由A和B的坐標分別表示出

PA

與

PB

的坐標，且由兩向量垂直得到其數量積為0，故利用平面向量的數量積運算法則列出x與y的關系式，可得出動點P的運動軌跡；
（2）由第一問得出的動點P的運動軌跡為圓心為原點，半徑為1的圓（除去與x軸的兩交點），如圖所示，由過點Q的直線l與點P的軌跡有且只有一個交點，分兩種情況：①直線l與圓相切，也分兩種情況：直線l的斜率存在時與不存在時，當直線l的斜率存在時，設出直線l的斜率為k，由Q的坐標表示出直線l的方程，根據直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于圓的半徑，故利用點到直線的距離公式列出關于k的方程，求出方程的解得到k的值，進而確定出直線l的方程；當直線l的斜率不存在時，此時直線l的方程為直線x=1，經檢驗，不合題意；②當直線l與圓相交時，根據圖形可知直線l必然過A點，由A和Q的坐標得出此時直線l的方程，綜上，得到滿足題意的所有直線l的方程．

解答：解：（1）設P（x，y），
∵PA⊥PB，A（-1，0），B（1，0），
∴

PA

=（-1-x，-y），

PB

=（1-x，-y），
∴由

PA

•

PB

=0，得（-1-x）•（1-x）+（-y）²=0，
即x²-1+y²=0，…（3分）
則動點P軌跡方程為x²+y²=1（y≠0）；…（4分）

（2）由直線l與點P的軌跡有且只有一個交點，
故分兩種情況考慮：
①當直線l與圓相切時，
若斜率存在，設l：y=k（x-1）+2，
即kx-y+2-k=0由

|2-k|

1+k2

=1，得k=

3

4

，
此時直線l方程為：3x-4y+5=0，符合題意，…（7分）
若斜率不存在，此時方程：x=1，與圓x²+y²=1切于點B，不符合題意；…（8分）
②當直線l與圓相交時，直線QA與軌跡僅有一個交點，
∵A（-1，0），Q（1，2），
此時直線l的方程為：y=

2-0

1-(-1)

（x+1），即y=x+1，符合題意，
綜上所述：所求直線l的方程為：3x-4y+5=0或x-y+1=0．…（10分）

點評：此題考查了圓的切線方程，以及點的軌跡方程，涉及的知識有：平面向量的數量積運算，兩向量垂直時數量積滿足的關系，直線的點斜式方程、兩點式方程，以及點到直線的距離公式，利用了分類討論及數形結合的思想，其中根據題意得出動點P的運動軌跡為圓心為原點，半徑為1的圓（除去與x軸的兩交點）是解本題的關鍵．