Question

已知直線l經過點P（3，1），且被兩平行直線l₁；x+y+1=0和l₂：x+y+6=0截得的線段之長為5，求直線l的方程．

Answer 1

分析：法一如圖，若直線l的斜率不存在，直線l的斜率存在，利用點斜式方程，分別與l₁、l₂聯立，求得兩交點A、B的坐標（用k表示），再利用|AB|=5可求出k的值，從而求得l的方程．
法二：求出平行線之間的距離，結合|AB|=5，設直線l與直線l₁的夾角為θ，求出直線l的傾斜角為0°或90°，然后得到直線方程．就是用l₁、l₂之間的距離及l與l₁夾角的關系求解．
法三：設直線l₁、l₂與l分別相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則通過求出y₁-y₂，x₁-x₂的值確定直線l的斜率（或傾斜角），從而求得直線l的方程．

解答：解：解法一：若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為x=3，
此時與l₁、l₂的交點分別為A′（3，-4）或B′（3，-9），
截得的線段AB的長|AB|=|-4+9|=5，符合題意．
若直線l的斜率存在，則設直線l的方程為y=k（x-3）+1．
解方程組

y=k(x-3)+1 x+y+1=0

得
A（

3k-2

k+1

，-

4k-1

k+1

）．
解方程組

y=k(x-3)+1 x+y+6=0

得
B（

3k-7

k+1

，-

9k-1

k+1

）．
由|AB|=5．
得（

3k-2

k+1

-

3k-7

k+1

）²+（-

4k-1

k+1

+

9k-1

k+1

）²=5²．
解之，得k=0，直線方程為y=1．
綜上可知，所求l的方程為x=3或y=1．

解法二：由題意，直線l₁、l₂之間的距離為d=

|1-6|

2

=

5 2

2

，
且直線L被平行直線l₁、l₂所截得的線段AB的長為5，
設直線l與直線l₁的夾角為θ，則sinθ=

5 2 2

5

=

2

2

，故θ=45°．
由直線l₁：x+y+1=0的傾斜角為135°，知直線l的傾斜角為0°或90°，
又由直線l過點P（3，1），故直線l的方程為：x=3或y=1．

解法三：設直線l與l₁、l₂分別相交A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則x₁+y₁+1=0，x₂+y₂+6=0．
兩式相減，得（x₁-x₂）+（y₁-y₂）=5．①
又（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=25．②
聯立①、②可得

x1-x2=5 y1-y2=0

或

x1-x2=0 y1-y2=5

由上可知，直線l的傾斜角分別為0°或90°．
故所求的直線方程為x=3或y=1．

點評：本題是中檔題，考查直線與直線的位置關系，直線與直線所成的角，直線的點斜式方程，斜率是否存在是容易出錯的地方，注意本題的三種方法．